特征值与特征向量的物理意义

一个矩阵对应一个线性变换，比如矩阵A与向量$\hat{v}$v^相乘，实质上就是A对$\hat{v}$v^的旋转和伸缩，会使绝大多数向量变得“面目全非”，不能反映出该向量的特征。例如：
$A=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}，\hat{v}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$A=[22​31​]，v^=[xy​]$A\hat{v}=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x+3y\\2x+y\end{bmatrix}$Av^=[22​31​][xy​]=[2x+3y2x+y​]接下来，我来解释矩阵A与向量$\hat{v}$v^相乘，为什么就是A对$\hat{v}$v^的旋转和伸缩。

矩阵与普通向量相乘

例1

$A=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}，\hat{v}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}$A=[22​31​]，v^=[2−1​]$A\hat{v}=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}$Av^=[22​31​][2−1​]=[13​]显然，相乘后的结果向量（红色）相对于向量$\hat{v}$v^（蓝色）既发生旋转又进行伸缩。

例2

$A=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}，\hat{v}=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$A=[22​31​]，v^=[−23​]$A\hat{v}=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\-1\end{bmatrix}$Av^=[22​31​][−23​]=[5−1​]显然，相乘后的结果向量（红色）相对于向量$\hat{v}$v^（蓝色）既发生旋转又进行伸缩。

矩阵与特征向量相乘

但是，有这么一类向量，与矩阵相乘后，只是进行了伸缩（包括反向）而不会发生旋转，那么这类向量称为该矩阵的特征向量，伸缩比例称为特征值。
本文中的矩阵A的特征值为4和-1，对应的特征向量分别为$\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$[32​]和$\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$[−11​]，请读者自证。

例3

$A=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}，\hat{v}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$A=[22​31​]，v^=[32​]$A\hat{v}=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\8\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$Av^=[22​31​][32​]=[128​]=4[32​]显然，相乘后的结果向量（红色）相对于向量$\hat{v}$v^（蓝色）只是进行了伸缩而不会发生旋转，伸缩比例为-1。因此，$\hat{v}$v^称为矩阵A的特征向量，-1称为特征值。

例4

$A=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}，\hat{v}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$A=[22​31​]，v^=[−11​]$A\hat{v}=\begin{bmatrix}2 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=-1\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$Av^=[22​31​][−11​]=[1−1​]=−1[−11​]显然，相乘后的结果向量（红色）相对于向量$\hat{v}$v^（蓝色）只是进行了伸缩而不会发生旋转，伸缩比例为-1。因此，$\hat{v}$v^称为矩阵A的特征向量，-1称为特征值。