林轩田机器学习基石笔记14：Regularized

0. 前言

上一课讲到了过拟合。什么是过拟合、过拟合什么时候发生、怎么处理过拟合等。其中有一种解决过拟合的方法是Regularized，这一节课我们将会讲解这种方法。

1. Regularization Hypothesis

• 我们知道，多阶多项式包含低阶多项式。
  
  那么在高阶多项式中加入一些限定条件，使它近似为低阶多项式即可。这种函数近似曾被称之为不适定问题（ill-posed problem）。
• 如何进行近似呢？首先十阶多项式和二阶多项式的形式为：
  
  若果我们将w2,w3,...w10$w_2,w_3,...w_{10}$变成0，那么高阶就会变成了低阶。
• 我们为什么要这么做呢？直接使用低阶多项式不是更加方便吗？这样做的目的是拓展我们的视野，为即将讨论的问题做准备。刚刚我们讨论的限制是H10$H_{10}$高阶部分的权重w限制为0，这是比较苛刻的一种限制。下面，我们把这个限制条件变得更宽松一点，即令任意8个权重w为0，并不非要限定w3∼w10$w_3\sim w_{10}$为0，这个Looser Constraint可以写成：
  
  ∑q=010(wq≠0)≤3$$\sum _{q=0}^{10}(w_q\ne 0)\le 3$$
  
  也就只是限定了w不为0的个数，并不限定必须是高阶的w。这种hypothesis记为H'2$H{\prime }_2$，称为sparse hypothesis set，它与H2$H_2$和H10$H_{10}$的关系为：
  
  H2⊂H′2⊂H10$$H_2\subset H_2^{\prime }\subset H_{10}$$
• 事实上这一种方法是NP-hard的，我们没法知道哪几项为0比较好。所以，还要转换为另一种易于求解的限定条件。那么，我们寻找一种更容易求解的宽松的限定条件Softer Constraint，即：
  
  ∑q=010w2q=∥w∥2≤C$$\sum _{q=0}^{10}{w}_q^2=\Vert w{\Vert }^2\le C$$
  
  其中，C是常数，也就是说，所有的权重w的平方和的大小不超过C，我们把这种hypothesis sets记为H(C)。
• H'2$H{\prime }_2$与H(C)的关系是，它们之间有重叠，有交集的部分，但是没有完全包含的关系，也不一定相等。对应H(C)，C值越大，限定的范围越大，即越宽松。当C无限大的时候，即限定条件非常宽松，相当于没有加上任何限制，就与H10没有什么两样。H(C)称为regularized hypothesis set，这种形式的限定条件是可以进行求解的，我们把求解的满足限定条件的权重w记为wREG$w_{REG}$。接下来就要探讨如何求解wREG$w_{REG}$。

2. Weight Decay Regularization

• 我们的目的是：
  
• 采用梯度下降算法，以及拉格朗日求约束条件下的极值问题，得到最优结果需要满足条件：
  
  其中λ$\lambda$就是拉格朗日系数，我们的目标就变成了求解上述公式。
  已知∇Ein是Ein对wREG的导数，而2λNwREG也可以看成是λNw2REG的导数。那么平行等式左边可以看成一个函数的导数，导数为零，即求该函数的最小值。也就是说，问题转换为最小化该函数：
  
• λ$\lambda$的值也会影响得到的曲线：
  
  λ$\lambda$一般取比较小的值就能达到良好的拟合效果，过大过小都有问题，但究竟取什么值，要根据具体训练数据和模型进行分析与调试。

3. Regularization and VC Theory

• VC维与Regularization的关系：根据VC Dimension理论，整个hypothesis set的dVC=d˘+1$d_{VC}=d˘+1$，这是因为所有的w都考虑了，没有任何限制条件。而引入限定条件的情况下，当λ>0$\lambda >0$时，有
  deff(H,A)≤dVC$$d_{eff}(H,A)\le d_{VC}$$
  
  当λ=0$\lambda =0$时，此时VC维是最大的，随着λ$\lambda$的增加而不断减小。

4. General Regularizer

• 那么通用的Regularizers，即Ω(w)（Ω(w)为Ein和Eout$E_{in}和E_{out}$的差值），应该选择什么样的形式呢？一般地，我们会朝着目标函数的方向进行选取。有三种方式：
  
  接下来，介绍两种Regularizer：L2和L1:
  
• 下面来看一下λ如何取值，首先，若stochastic noise不同，那么一般情况下，λ取值有如下特点：
  
  从图中可以看出，stochastic noise越大，λ越大。
  另一种情况，不同的deterministic noise，λ取值有如下特点：
  
  从这两张图片可以看出，噪声越大或者目标函数复杂度越高，那么所需要的λ$\lambda$就越大，得到的结果也更差。但是大多数情况下，noise是不可知的，这种情况下如何选择λ？这部分内容，我们下节课将会讨论。

5. 总结

这节课主要讲解了Regularization，我们在高阶多项式中加上限制条件之后，将问题转化为Eaug$E_{aug}$最小化问题。其实这一过程就是减小VC维的过程。最后，介绍regularization是通用的机器学习工具，设计方法通常包括target-dependent，plausible，friendly等等。选取合适的λ$\lambda$能够得到最佳的Eout$E_{out}$，但是如何找到最佳的λ$\lambda$仍是个问题，下节课我们将会介绍。