2018 Multi-University Contest-多校赛总结

先放凉凉的排名
2018 Multi-University Contest-多校赛总结

表示初中生真的对高数毫无知觉啊…
接下来就是 $N * 3 (N \leq 1000)$ 个大学生/高中生如何将3个初中的小盆友虐到自闭的故事。

section 1

蒙蔽的第一天qwq。
第一天就忘了参赛时间，划水到12:30的时候进HDU一看发现比赛已经开始了???

1.1 K.Time Zone

01:01:54(-6)
模拟

今天的第一题。
由于划水了半个小时,就扔给队友做去了，结果做了一个小时,还错了6次(好像坑特别多啊qwq)。
听说做法是将时间全部转成秒，然后模拟?

1.2 A.Maximum Multiple

01:40:56(-6)
结论
第二题就自闭了qwq.。
队友打了一个错误的表出来，对着屏幕干瞪了一个小时，还错了好几次。
实际上是一个非常明显的规律
当 $a \equiv 0 (m o d 3)$ ,答案为 $\frac{a^{3}}{27}$
当 $a \equiv 0 (m o d 4)$ ,答案为 $\frac{a^{3}}{32}$
实际上是因为 $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ (题解上的一句话…)

1.3 C.Triangle Partition

01:59:24(0)
排序
非常简单的题目。然而前面花了太长的时间，看这道题的时候已经很迟了qwq.
直接按 $x$ 或者 $y$ 轴排序输出即可。

1.4 D.Distinct Values

送命题*1
贪心+set
RT，一道蒟蒻的送命题(还好不是我做的qwq)。
思路很简单，贪心地从前往后维护一个 $s e t$ ,做 $m e x$ 运算即可。
结果考试的时候一直Wrong Answer，一直到考试结束…

1.5 G.Chiaki Sequence Revisited

送命题*2
差分序列+阿贝尔变换
压根不知道阿贝尔变换是什么，考试的时候乱搞了几次就没做了…

1.6 B.Balanced Sequence

赛后题
贪心+排序+模拟
真心后悔考试的时候没看这道题…
一道与括号序列相关的题目。
我们知道当一个串括号将匹配消去时只有四种情况
1.空串
2.(,((,(((
3.)(,)((,))(((
4.)),))),)
对于空串，无论哪个位置都行，可以不用管它。
从全局来看,应该按2,3,4部分的顺序来排
对于2,4部分，显然匹配数量与顺序无关，也可以不用管。
对于3部分来说也有两种情况：
I.(比)多
II.)比(多
I部分我们按)个数从小到大排序
II部分我们按(个数从大到小排序
排好序后模拟即可。

1.7 总结

第一次考试果然没分…
主要是ACM的题从来没接触过吧qwq….
下次继续努力…

section 2

线段树自闭场..

2.1 D.Game

00:11:20(-2)
博弈论+结论
一道结论题,还没打开电脑队友就AC了。
听说是直接输出Yes即可。
证明(by 官方题解):

考虑将游戏变成初始时只有 $2$ ~ $n$ ，如果先手必胜的话，那么先手第一步按这样取就获胜了；如果后手必胜的话，那么先手第一步取走1就获胜了。所以全输出Yes就行了。

2.2 J.Swaps and Inversions

00:22:06(0)
逆序对
这题也是队友秒的..
容易发现逆序对=交换相邻需要交换的次数。
直接输出 $m i n (x, y) \times$ 逆序对。

2.3 E.Hack It

送命题*1
构造
矩阵构造题…
乱构造了半天就是到不了85000…
最后题解好像和同余有关..

2.1 G.Naive Operations

送命题*2
线段树
我的锅,我的锅qwq…
这道题本身思路很简单,维护区间 $[l, r]$ 的 $p_{i}$ 最小值，其中 $p_{i}$ 指区间 $b_{i} - a_{i} m o d b_{i}$ 的最小值，每次加一等价于将 $p_{i} - 1$ ,并做一个 $- 1$ 的懒标记,一旦 $p_{i} == 0$ 向下更新一次即可。
然而蒟蒻半年没打过线段树…结果一直WA。然后就自闭了….

section 3

同样爆炸的一天.

3.1 D. Euler Function

00:25:58(0)
结论+找规律
题目明显是求第k个欧拉函数值为合数的数.
做这道题只需要两三步:打开百度百科 $- >$ 搜索欧拉函数表 $- >$ 输出
至于为什么….可以去网上搜一下证明。

3.2 F. Grab The Tree

00:44:36(0)
博弈论
一道关于xor的趣题..
设点权异或和为 $s u m$
当 $s u m == 0$ 时,根据异或的性质, $A$ 一定等于 $B$ ,因此是平局。
当 $s u m > 0$ 时,A可以取 $s u m$ 的二进制下的最高位的 $1$ ,根据异或的性质,点权为 $s u m$ 的二进制下的最高位的 $1$ 的点一定只有奇数个,因此 $A$ 必胜。

3.3 L. Visual Cube

01:06:14(-1)
模拟
输出类似如下的立方体 $A \times B \times C$ 。
....+-+-+-+-+-+-+ .../././././././| ..+-+-+-+-+-+-+.+ ./././././././|/| +-+-+-+-+-+-+.+.+ |.|.|.|.|.|.|/|/| +-+-+-+-+-+-+.+.+ |.|.|.|.|.|.|/|/| +-+-+-+-+-+-+.+.+ |.|.|.|.|.|.|/|/. +-+-+-+-+-+-+.+.. |.|.|.|.|.|.|/... +-+-+-+-+-+-+....
恶心模拟题..不想说任何话了qwq

3.4 A. Ascending Rating

送命题*1
滑窗+单调队列
这题不是我做的….
很明显的滑窗+单调队列的题，然后队友就去实现了…
结果一直TLE..
好像题解说要倒着做才不会超时。

3.5 C. Dynamic Graph Matching

送命题*2
状压DP
杯具呀..
自己想了半天之后猜测这道题貌似状压DP可以做，然后被队友残忍拒绝了…
然后就没有然后了.

其实这题DP的思路是比较简单的。
设 $f [S]$ 为已经选 $S$ 中的点所能构成的方案数。
如果是加边,则 $d p [S] = d p [S] + d p [S - u - v]$
反之，删边就是 $d p [S] = d p [S] - d p [S - u - v]$

section 4

错题大赛

4.1 L. Graph Theory Homework

00:13:04(-1)
结论
因为 $⌊ \sqrt{a} ⌋ + ⌊ \sqrt{b} ⌋ \geq ⌊ \sqrt{a + b} ⌋$ 所以直接从 $1$ 到 $n$ 是最短的.注意绝对值.

4.2 K. Expression in Memories

00:49:12(-1)
模拟
这题不是我做的。
主要是注意一下类似+0?,+0,+?之类的情况，之后尝试着替换就好。

4.3 D. Nothing is Impossible

02:28:43(-2)
贪心+心理学
心理学是什么鬼..
其实是因为这道题标程有错，导致数据与题面不符，但仍然有200多人过了这道题?!..不得不说真是心理学大神啊…
后来更换了题面，把 $a_{i}$ 全部变成 $1$ ..然后就变大水题了。
将数将 $b_{i}$ 排序，将 $m$ 不断地除 $(b_{i} + 1)$ 直到变为零为止，答案就是除的 $b$ 的个数。

4.4 B. Harvest of Apples

送命题*1
莫队+组合数
想了半天压根没有思路…开始很怀疑为什么会有这么多人过…越做越怀疑人生…
最后才知道是道原题…而且正解是莫队..没有学过莫队的蒟蒻完全自闭了…

4.5 E. Matrix from Arrays

送命题*2
规律+前缀和
最开始是队友在做这道题。
结果队友一直都过不了样例。然后就集体弃掉 $B$ 题做这道题了。
最后还是没调出来..
考试结束后,发现是坐标输入反了。
其实这道题就是一道找规律的题。
打表可以发现 $M [i + 2 L] [j] = M [i] [j + 2 L] = M [i] [j]$
然后预处理 $M [2 L] [2 L]$ 的前缀和，将 $x > 2 L, y > 2 L$ 的询问拆成4个部分，就可以愉快地 $O (1)$ 回答了。

section 5

打的最惨的一轮

5.1 B.Beautiful Now

04:37:24(-4)
只做了唯一一道签到题。
而且还是在最后的时间卡过去的。
这是一道暴力题。直接枚举全排列然后检验即可。
复杂度 $O (n! n)$
然而被卡常数了..
最后在其他dalao的指引下，才用剪了枝的 $D F S$ 卡了过去。其实剪枝有很多方法。这里不再赘述。

5.2 E.Everything Has Changed

送命题(-25)
其实这次爆炸并不是因为上面的B题。
而是因为这道错了25次的计算几何。
留下了不会计算几何的泪水…..
题目本身不难，虽然对初中生非常地不友好，但板子网上都有，也没太大难度。
但卡精度真的没救啊…
彻底被计算几何送自闭了。
在此留下题目:Everything Has Changed.

section 6

非常不正常的一轮，但是居然有分了。qwq

6.1 I.Werewolf

03:44:50(-7)
推理+基环树
没错…这是我们的签到题….
题目不是我做的..
据说是一道遍历染色的题。
将人抽象成一个点，他所指的人与他自己之间连一条有向边并标记。
先将是狼人的边去掉，于是图变成了若干个联通块。
容易得知，这些联通块要么是一棵树，要么是一个基环树。
对于基环树，所有人都可以是村民。
对于树，如果没有狼人的边指向它，那同样所有人都可以是村民，否则指向的节点 $x$ 与它指向的子树都是狼人。
遍历一遍并染色即可。

6.2 A.oval-and-rectangle

04:22:42(-12)
连续期望+微积分
期望没学过，微积分也没学过，做到这道题的时候真的想吐…
题目本身没有思维难度，主要是现场学习微积分和连续期望实在是花了太长的时间。
根据椭圆的解析式推出来的连续期望的定积分是这样的:

\int_{0}^{b} 4 a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{b^{2}}} + 4 x d x

最开始蒟蒻完全不会化简，差点就放弃了…幸亏找到了有道万能计算器,然后瞬间就算出来了。
化简出来等于
$2 b^{2} + 2 a b π$

接着就错了十二次….
….后来发现连续概率式子还要整体除以 $b$ .
所以是 $2 b + 2 a π$
样例真水

6.3 L.Pinball

04:50:42(-2)
物理
这是一道差点送命的物理题。
当然也不可能是我这种物理蒟蒻做的了qwq。
由于自己不懂高中物理,所以直接将官方题解搬过来了:
将重力加速度分解成垂直斜坡和平行斜坡两个方向。考虑这两个方向的分运动。
垂直斜坡方向，小球周期性的弹起下落。
平行斜坡方向，小球做匀加速直线运动。
只要算出垂直斜坡方向的分运动的周期，和平行斜坡方向分运动的总时间，除一下就是答案。

6.4 B.bookshelf

送命题
组合计数+容斥/莫比乌斯反演+GCD
这是自己唯一一道写了完整的博客的题。
由于还有一部分没完成所以晚点再发..

section 7

7.1 A.Age of Moyu

00:13:30(0)
贪心+Dijkstra
前几场都是自己被原题被虐，今天终于自己碰上原题了qwq.
没错。。。这题就是道原题，只不过题目非常卡常，但读入优化一下就好了。
自己原来的做法是贪心+Dijkstra+map。
原题链接
ARC061 E

7.2 J.Sequence

03:48:41(-3)
数学+矩阵快速幂
这题是队友做的，算是一道矩阵快速幂的经典题。
首先对于 $f_{i} = C * f_{i - 2} + D * f_{i - 2} + S$ 这个递推式我们有矩阵:

(\begin{matrix} f_{i - 1} \\ f_{i - 2} \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} D & C & S \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

由于 $S = ⌊ \frac{P}{i} ⌋$ 。我们知道 $⌊ \frac{P}{i} ⌋$ 有 $\sqrt{P}$ 种不同的取值，因此对不同的取值跑一遍矩阵快速幂即可。

7.3 E.GuGuFishtion

送命题*1
数论+容斥
果然 $G u G u$ 了。
压根没有发现 $\frac{φ (a b)}{φ (a) φ (b)} = \frac{g c d (a, b)}{φ (g c d (a, b))}$
这样题目就简单许多了。
我们可以枚举 $k = g c d (a, b)$ ,求出 $g c d (a, b) = k$ 的二元组 $(a, b)$ 的对数。
也就转化成6.4 B.bookshelf一样的莫比乌斯反演或者容斥了。

7.4 I.Tree

送命题*2
LCT\树上分块
发现我们学校的高中dalao都过了这道题，然后就自闭了两个小时。
结果赛后看了dalao们的代码..LCT!!（蒟蒻压根没学过这个东西）。
其实还有另外一种解法叫树分块。(之前也想过这个东西，但以为在树上分块不太现实，结果还真有这种做法..)。
用树分块维护当前节点跳多少次到下一个块，下一个块是什么，和原题中的 $a_{i}$ 。
这样我们就能保证每次修改&查询都是 $O (\sqrt{n})$ 。
最开始的预处理可以用倍增做。
复杂度 $O (n l o g n + m \sqrt{n})$

section 8

8.1 E.Magic Square

00:17:35(0)
模拟
额…
这题没什么好说的…
直接模拟即可。良心送分题。

8.2 D.Parentheses Matrix

04:57:04(-8)
构造
构造括号矩阵自闭题。
最开始,我们构造的矩阵是这样的：

\begin{matrix} ( & ) & ( & ) & ( & ) & ( & ) \\ ( & ) & ( & ) & ( & ) & ( & ) \\ ( & ) & ( & ) & ( & ) & ( & ) \\ ( & ( & ) & ( & ) & ( & ) & ) \\ ( & ( & ) & ( & ) & ( & ) & ) \\ ( & ( & ) & ( & ) & ( & ) & ) \end{matrix}

然后就天真的以为， $n$ , $m$ 都是偶数时能够匹配的括号数量最多有 $\frac{n}{2} + m - 1$ 个。
实际上..
当 $n \geq 6$ 可以这样构造

\begin{matrix} ( & ( & ( & ( & ( & ( & ( & ( \\ ( & ) & ( & ) & ( & ) & ( & ) \\ ( & ( & ) & ( & ) & ( & ) & ) \\ ( & ) & ( & ) & ( & ) & ( & ) \\ ( & ( & ) & ( & ) & ( & ) & ) \\ ) & ) & ) & ) & ) & ) & ) & ) \end{matrix}

这样构造够匹配的括号数量是 $n + m - 4$ 个。
同理，可以构造 $n < 6$ 时匹配的括号数量是 $n + m - 3$ 个。

8.3 J.Taotao Picks Apples

送命题
单调栈/ST表+二分
又是我的锅…
蒟蒻考试的时候其实想出来了两种方法：
1.用DP求出从 $i$ 开始的摘的苹果的数量，每次询问用ST表 $O (1)$ 查询最大值并二分，找到区间 $[p + 1, n]$ 中与修改值的相邻点，然后用它来更新答案。复杂度 $O (n l o g n + Q l o g n)$ ,由于有ST表，常数较大。
2.将询问按位置从小到大排序，然后从后向前维护一个单调栈，，并在维护位置 $x$ 时回答在 $x$ 上的所有询问，复杂度 $O (n + 2 * Q l o g n)$ ,常数较小。
蒟蒻太懒了，懒得打这么长的代码，于是就告诉队友第二个方法~~自己划水去了~~。。由于自己的第二个方法有三个二分(其实只用一个)，结果最后又集体自闭了….
~~自己的锅该自己背啊qwq~~

section 9

9.1 H.Rikka with Badminton

00:48:30(-4)
组合计数+快速幂
签到题。
我们队用的分类讨论计数的方法。
$A n s = (b + 1) * 2^{a + c} + d * 2^{a + c} + (2^{b} - b - 1) * 2^{a}$

9.2 D.Rikka with Stone-Paper-Scissors

02:12:54(-1)
期望+结论
说实话这道题是我们猜出来的。
直接假设Rikka也失去理智地随机出拳。
那么所得的期望是: $\frac{a_{2} * (c_{1} - b_{1}) + b_{2} * (a_{1} - c_{1}) + c_{2} * (b_{1} - a_{1})}{a_{1} + b_{1} + c_{1}}$
发现正好与样例的结果相同…
实际上证明是十分复杂的化简过程。
利用的是石头剪刀布之间存在的对称性

9.3 A.Rikka with Nash Equilibrium

04:51:08(-1)
DP
玄学Dp…
(明天再补qwq)

section 10

10.1 H. Pow

00:12:37(0)
高精度/Java
可怜的C++超复杂高精度无脑加法…

10.2 G. Cyclic

00:45:42(0)
OEIS/结论
OEIS大法好。。。先打表然后用OEIS搜这个数列，得到一个递推公式…
$O (n)$ 预处理打表即可。

10.3 I. Count

01:43:27(-1)
找规律+OEIS
先用OEIS确定是一道欧拉函数的题。然后打出欧拉函数与答案数列，然后找规律。
答案 $a n s_{i} = φ (i) / 2 + Σ φ (\frac{i}{2} * 2) / 2$

10.4 L.Videos

04:39:16(-6)
费用流
~~考试的时候莫名其妙就猜出是道费用流的题~~
这道题实际上非常容易想成DP。。。但经过dalao的提醒我们发现其实是一个与费用流相关的题。
接下来就是建模的问题了。
最开始，我们组的想法是将所有人放在X部，所有电影设为Y部。
1.源点与人全部相连，费用为0.
2.人与电影两两相连,费用为看电影 $i$ 的花费 $w_{i}$ 。
3.如果电影 $X$ 与电影 $Y$ 之间不相互影响，则在 $X$ , $Y$ 之间连一条边。注意若两个电影种类相同，费用为 $w_{Y} - W$ 。否则，费用为 $w_{Y}$ 。
4.将电影与汇点全部相连，费用为0。
5.所有边的容量都为1。
如下图所示:
2018 Multi-University Contest-多校赛总结
然而这样连有一个问题。
虽然看上去再最后到汇点时已经限制了人数。但是当还是无法防止有多个人看一个电影，例如上图中人可以通过红色的边或者黑色的边到达同一个电影。
~~经dalao的提示~~，我们需要拆点。
我们可以将电影拆成两个点(下图中是一个橙色的点，一个绿色[当是绿色吧..]的点)，两点之间连一个容量为1费用为0的边。
还有在电影 $X$ 与电影 $Y$ 之间不相互影响的情况下，则在 $X$ 的绿色的点, $Y$ 的橙色的点之间连一条边。费用同前。
如下图所示:
2018 Multi-University Contest-多校赛总结
对了…还有要注意千万不能这样连….

10.5 J. CSGO

05:05:55(0)
子集枚举+思维
https://blog.csdn.net/qq_34940287/article/details/82021295
时间有些奇怪?
是的,这道题是在考试后5分钟调出来的(~~实际上是光看队友写费用流去了忘了要写这道题~~).
算是一道比较简单的题目吧qwq.
题目要求求 $S_{i} + S_{j} + \sum_{p = 1}^{k} | x_{i, p} - y_{j, p} |$ 的最大值。
实际上 $S_{i} + S_{j}$ 的最大值十分好求，找两个最大的 $S$ 即可。
但 $\sum_{p = 1}^{k} | x_{i, p} - y_{j, p} |$ 这一部分十分不友好。
因此我们想办法将这个绝对值去掉。
注意题目要求我们求最大的绝对值。
我们应先考虑一个子问题:

求 $| a_{i} - b_{j} |$ 的最大值

注意到 $| a - b | = m a x (a - b, b - a)$
那么 $m a x (| a_{i} - b_{j} |) = m a x (m a x (a_{i} - b_{j}, b_{j} - a_{i})) = m a x (a_{i} - b_{j}, b_{j} - a_{i}) = m a x (a_{i}, - a_{i}) + m i n (b_{j}, - b_{j})$
解释一下这一步.. $m a x (a_{i}, - a_{i})$ 一定是非负的， $m i n (b_{j}, - b_{j})$ 一定是非正的。
这一步相当于将 $a_{i}$ 全部强制为正， $b_{i}$ 全部强制为负然,后找最大值求和
。（至于为什么我真的讲不清楚啊qwq）
等价于 $m a x (a_{i}, - a_{i}) - m a x (b_{j}, - b_{j})$

如果是求 $| a_{i, 1} - b_{j, 1} | + | a_{i, 2} - b_{j, 2} |$ .
很明显就是 $m a x (a_{i, 1} + a_{i, 2}, - a_{i, 1} - a_{i, 2}, - a_{i, 1} + a_{i, 2}, a_{i, 1} - a_{i, 2}) - m a x (b_{j, 1} + b_{j, 2}, - b_{j, 1} - b_{j, 2}, b_{j, 1} - b_{j, 2}, - b_{j, 1} + b_{j, 2})$

那么对于 $\sum_{p = 1}^{k} | x_{i, p} - y_{j, p} |$ 就是
$m a x (m a x ((\sum_{p = 1}^{k} \pm x_{i, p})) + m a x (m a x (\sum_{p = 1}^{k} \pm y_{j, p}))$
对与±号，我们可以用子集枚举来完成。
答案 $S_{i} + S_{j} + \sum_{p = 1}^{k} | x_{i, p} - y_{j, p} |$ 就是
$m a x ((m a x ((\sum_{p = 1}^{k} \pm x_{i, p}) + S_{i})) + m a x ((m a x (\sum_{p = 1}^{k} \pm y_{j, p}) - S_{j}))$
(抱歉，这道题实在讲的太不清楚了)
复杂度 $O (n * 2^{k})$
放上官方题解:
2018 Multi-University Contest-多校赛总结