「多校联考」第三周二场

「多校联考」第三周二场

• T1 分数转换
• 题目
• 考场思考（正解）
• T2 Slow Path Finding Algorithm (SPFA)
• 考场思路
• 正解
• T3 切面包
• 考场思路
• 正解

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这套题是真的很好，除了题目都有思路之外，还卡掉很多细节。
然而卡细节是考过的很多考试中从未考过的。
比如 $T1$T1 卡掉不开 $long\space long$long long 的巨佬们， $T2$T2 卡掉像我这样的蒟蒻连用 $7$7 个 memset 的人。
因为这套题没有评测系统，所以就不附代码了 因为我也不知道是不是对的，虽然本地用 lemon 测过，但是学生机都是老年机！
本文不久会附上测试所用的数据、 $std$std、题解和题目（$pdf$pdf 版）

多年准备一场空 系列套题

T1 分数转换

$Input\space file: frac.in$Input file:frac.in
$Output\space file: frac.out$Output file:frac.out
$Time\space limit: 1.5 seconds$Time limit:1.5seconds
$Memory\space limit: 512 megabytes$Memory limit:512megabytes

题目

考场思考（正解）

一道送分题…
至于怎么将无线小数转分数，可自行百度。 巨佬可自推，其实像我这样的蒟蒻都可以退出来
但是要注意，会爆 int ，然而又有巨佬要开 __int128 ，结果被编译器坑掉，悲惨 $CE$CE。
其实开 long long 就可以了，何必要管那么多呢？
但是要注意，数据给出类似 $0.33333[3]$0.33333[3] 的情况，这样的情况下，必须把输入处理为 $0.[3]$0.[3]。
当然，这可能是我自己码代码时不注意出现的 $bug$bug ，巨佬们能够完全避免就别管这句话吧…

多年准备一场空，不开 $long\space long$long long 见祖宗。

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T2 Slow Path Finding Algorithm (SPFA)

考场思路

这道题考场上看，感觉是比较简单的。
定义状态 $dp[i][j]$dp[i][j] ：走到 $i$i 点，字符 $j$j 出现次数的最大值。
为了还原路径，再定义 $pre[i][j]$pre[i][j] 为 $dp[i][j]$dp[i][j] 是从哪个点转移过来的。
然后根据这个状态，跑一边 $spfa$spfa 即可。
但是因为是多组输入，所以注意数组的清空，然后我使用了 memset…

正解

思路都对，但是 memset 有点问题。
然后我被卡掉了…
下次我用 for() 来清，再也不装 $X$X 了…

多年准备一场空，全用 $mem$mem 见祖宗。

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T3 切面包

考场思路

这道题因为在考试的时候调 $T2$T2 过久，所以题都没看。

正解

20pts 思路
这个思路并不是测试点 $1$1 的分，而是测试点 $2$2 的分。
为什么？仔细一想，$\frac{499122176}{998224352}=\frac{1}{2}$998224352499122176​=21​，并且没有事件一，那么这个数据点就很简单了。
想必具体思路不必过多赘述了吧 ????。
40pts 思路
测试点 $2$2 过了之后，再暴力搜出所有的情况，时间复杂度 $O(n+m\cdot 2^n)$O(n+m⋅2n)。
这样就可以拿 $40pts$40pts 的高分了，在对于这道题不够擅长的情况下， $200pts +40pts=240pts$200pts+40pts=240pts 已经是这一套题的最高分了。

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100pts 思路

本思路来源于 High School Affiliated to Southwest University 学校的 jiangly 巨佬

下见题解图片，黄色标记处为题解错误，标记处应为 $+2\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2$+2i=1∑n−2​pi​pi+1​2少了一个系数 $2$2。

现在我来加以解释 巨佬可直接忽略
首先，我们引入一个变量 $x_i$xi​ 。
当 $x_i=1$xi​=1 时，表示这段面包的 $i$i 位破掉。
当 $x_i=0$xi​=0 时，表示这段面包的 $i$i 位是完好的。
那么，当我们用 $x_i$xi​ 来表示这段面包的 破损$/$/完好 情况时，得到的是一个 $01$01 串。
那么，在什么时候，我们所拥有的面包段数会增加呢？
为了方便考虑，我们只关注两段面包的情况，先假设前面的面包完好，对于一些有问题的情况，我们在之后进行排除即可。

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情况一：两个连续的面包完好的情况

即当 $00$00 出现的时候，这时面包段数不会增加。

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情况二：两个连续的面包破损的情况

即当 $11$11 出现的时候，这时面包段数不会增加。

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情况三：两段面包前好后破的情况

即当 $01$01 出现的时候，这时面包段数不会增加。

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情况四：两段面包前破后好的情况

即当 $10$10 出现的时候，这时面包段数会增加。

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通过对上面情况的分析，当前面的面包完好的情况下，只有当 $10$10 情况出现时，面包段数会增加。
用数学语言表述就是$x=1+\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1}-x_ix_{i+1})$x=1+i=1∑n−1​(xi​+xi+1​−xi​xi+1​)仔细体会这个公式，其中，前面 $+1$+1 是特殊处理最前面 $x_0=1$x0​=1 的情况，其他的细节不多说，你会发现我们前面的定义：

当 $x_i=1$xi​=1 时，表示这段面包的 $i$i 位破掉。
当 $x_i=0$xi​=0 时，表示这段面包的 $i$i 位是完好的。

这个定义是多么的方便。
我们再换个分析方式，假设每个断掉的面包都可以分出左右两段，如图：

这个时候，每个断掉的面包都可以分出两段，那么就有$x=1+\sum_{i=2}^{n-1}x_i$x=1+i=2∑n−1​xi​但是，问题呼之而出，当两段连续的面包一起破损的时候，是不会产生新的面包，要减去这样的情况。
那么最后的公式就是$x=1+\sum_{i=2}^{n-1}x_i-\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{x+1}$x=1+i=2∑n−1​xi​−i=1∑n−1​xi​xx+1​但是，这道题要求的是 $x^2$x2 ，那么怎么做呢？
还能怎么做？暴力展开 $x^2$x2 啊…
前面已经得到：
$x^2=(1+\sum_{i=2}^{n-1}x_i-\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{x+1})^2$x2=(1+i=2∑n−1​xi​−i=1∑n−1​xi​xx+1​)2将这个括号打开：
$x^2=1+\sum_{2\le i<n}\sum_{2\le j<n}x_ix_j+\sum_{1\le i<n}\sum_{1\le j<n}x_ix_{i+1}x_jx_{j+1}+2\sum_{2\le i<n}x_i-2\sum_{1\le i<n}x_ix_{i+1}-2\sum_{2\le i<n}\sum_{1\le j<n}x_ix_jx_{j+1}$x2=1+2≤i<n∑​2≤j<n∑​xi​xj​+1≤i<n∑​1≤j<n∑​xi​xi+1​xj​xj+1​+22≤i<n∑​xi​−21≤i<n∑​xi​xi+1​−22≤i<n∑​1≤j<n∑​xi​xj​xj+1​但是，我们最后要求的其实是期望，所以要将所有的 $x_i$xi​ 换成概率 $p_i$pi​。
这里有点太复杂了，我们用概率运算一项一项地展开这六项。

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第一项
$1=1$1=1这个应该没有问题…我们已经解决 $\frac{1}{6}$61​ 了，加油 ????。

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第二项
$\sum_{2\le i<n}\sum_{2\le j<n}x_ix_j=(\sum_{2\le i<n}p_i)^2-\sum_{2\le i<n}{p_i}^2+\sum_{2\le i<n}p_i$2≤i<n∑​2≤j<n∑​xi​xj​=(2≤i<n∑​pi​)2−2≤i<n∑​pi​2+2≤i<n∑​pi​具体做一下解释，情况 $A$A 与 $B$B $(A\neq B)$(A​=B) 一起发生的概率为
$P(AB)=P(A)\times P(B)$P(AB)=P(A)×P(B)但是，当情况 $A$A 与 $B$B $(A=B)$(A=B)一起发生的概率为$P(AA)=P(A)$P(AA)=P(A)这是特殊情况，所以我们先要减去 $A=B$A=B 这样的特殊情况的错误计算方式，再加上它们的正确计算方式。

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第三项
$\sum_{1\le i<n}\sum_{1\le j<n}x_ix_{i+1}x_jx_{j+1}$1≤i<n∑​1≤j<n∑​xi​xi+1​xj​xj+1​这种情况有点复杂，我们分开讨论。

-当 $i=j$i=j 时$(\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1})^2-\sum_{i=1}^{n-1}{p_i}^2{p_{i+1}}^2+\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1}$(i=1∑n−1​pi​pi+1​)2−i=1∑n−1​pi​2pi+1​2+i=1∑n−1​pi​pi+1​

• 当 $i=j-1$i=j−1 时$\sum_{1\le i\le n-2}p_ip_{i+1}p_{i+2}-\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2p_{i+2}$1≤i≤n−2∑​pi​pi+1​pi+2​−i=1∑n−2​pi​pi+1​2pi+2​
• 当 $i=j+1$i=j+1 时$\sum_{1\le i\le n-2}p_ip_{i+1}p_{i+2}-\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2p_{i+2}$1≤i≤n−2∑​pi​pi+1​pi+2​−i=1∑n−2​pi​pi+1​2pi+2​其实是和第二个情况是一样的。

所以，第三项总共就是$(\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1})^2-\sum_{i=1}^{n-1}{p_i}^2{p_{i+1}}^2+\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1}+2\sum_{1\le i\le n-2}p_ip_{i+1}p_{i+2}-2\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2p_{i+2}$(i=1∑n−1​pi​pi+1​)2−i=1∑n−1​pi​2pi+1​2+i=1∑n−1​pi​pi+1​+21≤i≤n−2∑​pi​pi+1​pi+2​−2i=1∑n−2​pi​pi+1​2pi+2​我们终于完成 $\frac{1}{2}$21​ 了，然而我的脑细胞也被杀掉 $\frac{1}{2}$21​ 了 ????。

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第四项
可以直接建立等式$2\sum_{2\le i<n}x_i=2\sum_{2\le i<n}p_i$22≤i<n∑​xi​=22≤i<n∑​pi​

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第五项
也可以直接建立等式$-2\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=-2\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1}$−2i=1∑n−1​xi​xi+1​=−2i=1∑n−1​pi​pi+1​

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第六项
我们先将 - 抛弃，等会在括号之前加上即可。
先进行直接转换：$2(\sum_{i=2}^{n-1}p_i)(\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1})$2(i=2∑n−1​pi​)(i=1∑n−1​pi​pi+1​)

• 当 $i=j$i=j 时，需要$-2\sum_{i=2}^{n-1}{p_i}^2p_{i+1}+2\sum_{i=2}^{n-1}p_ip_{i+1}$−2i=2∑n−1​pi​2pi+1​+2i=2∑n−1​pi​pi+1​
• 当 $i=j+1$i=j+1 时，需要$-2\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2+2\sum_{i=1}^{n-2}p_ip_{i+1}$−2i=1∑n−2​pi​pi+1​2+2i=1∑n−2​pi​pi+1​

然后，我们将他们加起来，就是第六项了：
$2(\sum_{i=2}^{n-1}p_i)(\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1})-2\sum_{i=2}^{n-1}{p_i}^2p_{i+1}+2\sum_{i=2}^{n-1}p_ip_{i+1}-2\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2+2\sum_{i=1}^{n-2}p_ip_{i+1}$2(i=2∑n−1​pi​)(i=1∑n−1​pi​pi+1​)−2i=2∑n−1​pi​2pi+1​+2i=2∑n−1​pi​pi+1​−2i=1∑n−2​pi​pi+1​2+2i=1∑n−2​pi​pi+1​
不要忘记了前面我们省掉的 -

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最后，将所有的化简结果 其实并没有化简，只有结果 加起来，就是我们的 $x^2$x2 的了。
$x^2=1+(\sum_{2\le i<n}p_i)^2+3\sum_{i=2}^{n-1}p_i-5\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1}+2p_1p_2+2p_{n-1}p_n-\sum_{i=2}^{n-1}{p_i}^2+(\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1})^2$x2=1+(2≤i<n∑​pi​)2+3i=2∑n−1​pi​−5i=1∑n−1​pi​pi+1​+2p1​p2​+2pn−1​pn​−i=2∑n−1​pi​2+(i=1∑n−1​pi​pi+1​)2
$-\sum_{i=1}^{n-1}{p_i}^2{p_{i+1}}^2+2\sum_{i=1}^{n-2}p_ip_{i+1}p_{i+2}-2\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2p_{i+2}-2(\sum_{i=2}^{n-1}p_i)(\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{i+1})+2\sum_{i=2}^{n-1}{p_i}^2p_{i+1}+2\sum_{i=1}^{n-2}p_i{p_{i+1}}^2$−i=1∑n−1​pi​2pi+1​2+2i=1∑n−2​pi​pi+1​pi+2​−2i=1∑n−2​pi​pi+1​2pi+2​−2(i=2∑n−1​pi​)(i=1∑n−1​pi​pi+1​)+2i=2∑n−1​pi​2pi+1​+2i=1∑n−2​pi​pi+1​2
公式终于推完了，可能有点乱，把一些项数进行了合并
然后，我们怎么做呢？
我的方法时使用八颗线段树分别维护 $p_i、{p_i}^2、p_ip_{i+1}、{p_i}^2p_{i+1}、p_i{p_{i+1}}^2、{p_i}^2{p_{i+1}}^2、p_ip_{i+1}p_{i+2}、p_i{p_{i+1}}^2p_{i+2}$pi​、pi​2、pi​pi+1​、pi​2pi+1​、pi​pi+1​2、pi​2pi+1​2、pi​pi+1​pi+2​、pi​pi+1​2pi+2​ 即可。

多年准备一场空，不学数学见祖宗

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