这篇文章是关于数学中一个常见的概念——余数。
提起余数，想必大家都不陌生，我们生活中就有许多关于余数的例子。
比如，今天是星期二，你想知道30天之后是星期几，就可以用 30 除以 7（一周七天），余 2，最后在今天的基础上加上两天，这样你就知道了，30天后是周四。
再比如，我们做 Web 编程时，经常要用到分页的概念。如果你要展示 1123 条数据，每页 10 条，那么该怎么计算总共的页数呢？大部分人可能都会想到，用 1123 除以 10，得到商是 112，余数是 3，所以你的页数就是 112 + 1 = 113，而最后的余数就是多出来，凑不够一页的数据。
再有就是我之前在讲结构体的内存对齐模式时说的页式管理，也是用到了余数。
据此我们可以发现余数的一个重要特点，余数总是在一个固定的范围内。
比如你拿任何一个整数除以 7，得到的余数肯定是在 0~6 之间的某一个数。所以当我们知道1900年的1月1日是星期一，那么便可以知道这一天之后的第一万甚至十万天是星期几。
我们都知道，整数是没有边界的，它可能是正无穷，也有可能是负无穷。但是余数却可以通过某一种关系，让整数处于一个可以确定的边界内。就像人类发名的星期或者礼拜，七天一个轮回，周而复始地过完一生。不管你身处哪个时刻，都身处周期内。
再看之前的例子，假如今天是周一，从今天开始的 100 天里，都有多少个星期呢？用 100 除以 7，得到商 14 余 2，也就是说这 100 天里有 14 周多 2 天。换个角度看，这 100 天里，第 1 天，第 8 天，第 15 天等等，在余数的世界里都被认为是同一天，因为它们的余数都是 1，都是星期一。
这些数的余数都是一样的，所以被归类到了一起。我们的前人早已注意到了这一规律或者特点，所以他们把这一结论称为同余定理。简单来说，就是两个整数 a 和 b，如果它们除以正整数 m 得到的余数相等，我们就可以说 a 和 b 对于模 m 同余。
也就是说，上面我们说的 100 天里，所有星期一的这些天就是同余的，同理，星期二、星期三等等这些天也是同余的。
还有我们经常提到的奇数和偶数，其实也是同余定理的一个应用。当然，这个应用里，它的模就是 2。2 除以 2 余 0，所以它是偶数；3 除以 2 余 1，所以它是奇数。2 和 4 除以 2 都余 0，所以它们是一类的，都是偶数；3 和 5 除以 2 都余 1，所以它们都是一类，都是奇数。
那么，同余定理到底是做什么的呢？从前面的例子中我们已经可以得出结论了。
同余定理实际上就是用来分类的。
我们有无穷多个整数，怎么能够全面、多维度地管理这些整数？同余定理就提供了一个思路。
不管你的模是几，最终得到的余数肯定都在一个范围内。比如上面我们除以 7，就得到了星期几；除以 2，就得到了奇偶数。所以按照这个方式，我们就可以把无穷多个整数分成有限多个类。这一点在我们的计算机中，就可以起到很大的作用。
哈希（Hash）你可能听过，在每个编程语言中，都会有对应的哈希函数。哈希有时候也会被翻译成散列，简单来说，它就是将任意长度的输入，通过哈希算法，压缩为某一固定长度的输出。
这不就是取余嘛！
举个例子，假如你想要快速读写 100 万条数据记录，要达到高速地存取，最理想的情况当然是开辟一个连续的空间存放这些数据，这样就可以减少寻址的时间。但是由于条件的限制，我们并没有能够容纳 100 万条记录的连续地址空间，那应该怎么办呢？
我们可以考察一下，看看系统是否可以提供若干个较小的连续空间，而每个空间又能存放一定数量的记录。比如我们找到了 100 个较小的连续空间，也就是说，这些空间彼此之间是被分隔开来的，但是内部是连续的，并足以容纳 1 万条记录连续存放，那么我们就可以使用余数和同余定理来设计一个散列函数，并实现哈希表的结构。
在这个公式中，x 表示等待被转换的数值，而 size 表示有限存储空间的大小， mod 表示取余操作。通过余数，你就可以将任何数值，转换为有限范围内的一个数值，然后根据这个新的数值，来确定将数据存放在何处。
具体来说，我们可以通过记录标号模 100 的余数，指定某条记录存放在哪个空间。这个时候公式就变成了????
f(x) = x mod 100
假设有两条记录，它们的记录标号分别是 1 和 101。我们把这些模 100 之后余数都是 1 的，存放到第 1 个可用空间里，以此类推。
这样我们就可以根据求余的快速数字变化，对数据进行分组，并把它们存放到不同的地址空间里。而求余操作本身很简单，所以不会增加寻址时间。
除此之外，为了增加数据散列的随机程度，我们还可以在公式中加入一个较大的随机数 MAX，于是，上面的公式就可以写成下面这样????
我们假设随机数 MAX 是 18322 ，那么我们针对标号为 1 的记录进行重新计算，最后结果就是 23，针对标号 101 的记录，如果随机数 MAX 取 627901，对应的结果应该是 2。这样先前被分配到空间 1 的两条记录，在新的计算公式作用下，就会被分配到不同的可用空间中。
这样，使用了 MAX 这个随机数之后，被分配到同一空间中的记录就更加“随机”，更适合需要将数据重新洗牌的应用场景，比如加密算法，MapReduce中的数据分发，记录的高速查询和定位等等。
至此，余数的内容就说完了，数学思想在计算机中的重要性和普遍性可见一斑。
另，这篇文章的知识点来源于极客时间黄申的《程序员的数学基础课》。