数模学习（二）---Topsis法

一 概述

Topsis法（逼近理想排序法）是系统工程中一种多目标决策方法，找出有限方案中的最优与最劣的方案，当某个可行解方案最靠近最优方案同时又远离最劣方案时，这个方案解的向量集就是最优影响评价指标。
Topsis法其作为一种综合指标的评价方法，区别于如模糊综合评判法，层次分析法，它的主观性比较强，不需要目标函数，也不需要通过相应的检验，即限制要求大大降低，这使它的适用范围更为广泛

二 Topsis影响力度算法步骤

2.1统一指标类型（一般正向化指标）

2.1.1 常见的四种指标总结

指标名称	指标特征	例子
极大型指标（利益型指标）	越大（多）越好	成绩、收益
极小型指标（成本型指标）	越小（少）越好	成本、污染程度、费用
中间型指标	中间值最好	水污染的pH值（最好是pH=7）
区间型指标	特定区间内最好	疫情期间你的温度、水中营养物的含量

因为各指标之间的评价指标不一样，所以我们需要对各个指标进行指标正向化（现在通常是全部转化为极大型指标进行评价）
接下来分别介绍各个指标正向化的步骤

2.1.2 其他指标的指标正向化

①极小型指标—>极大化指标

运用公式：$x_{i}(更新值) =max-x_{i}$xi​(更新值)=max−xi​¹

栗子：

姓名	成绩	吵架次数	极小型后的吵架次数
小明	98	4	0
小李	86	3	1
小红	61	0	4
小蓝	77	1	3

这个可以理解为我需要让他们的量化标准相同，所以脾气越好的个人加分越多，在选择方案时也需要按照相同的量化标准来进行评分²

②中间型指标—>极大型指标

运用公式：
$M=max\lbrace\vert x_{i}-x_{best}\vert\rbrace\\ \hat x_{i}=1-\frac{\vert x_{i}-x_{best}\vert}{M}$M=max{∣xi​−xbest​∣}x^i​=1−M∣xi​−xbest​∣​
栗子：

pH值（原）	pH值（更改后）
7	1-$\frac{\vert7-7\vert}{2}=1$2∣7−7∣​=1
6	1-$\frac{\vert6-7\vert}{2}=\frac{1}{2}$2∣6−7∣​=21​
8	1-$\frac{\vert8-7\vert}{2}=\frac{1}{2}$2∣8−7∣​=21​
9	1-$\frac{\vert9-7\vert}{2}=0$2∣9−7∣​=0

其中$M=max\lbrace \vert7-7\vert,\vert6-7\vert,\vert8-7\vert,\vert9-7\vert\rbrace=2$M=max{∣7−7∣,∣6−7∣,∣8−7∣,∣9−7∣}=2
这样将最好的值$x_{best}$xbest​设为了1，而最差的值为0.将所有的值缩放到了$[0,1]$[0,1]区间中

③区间型指标—>极大型指标

运用公式：
$M=max\lbrace\vert x_{min}-x_{i}\vert,\vert x_{i}-x_{max}\vert\rbrace \\x_{i}=\left\{ \begin{aligned} 1-\frac{a-x_{i}}{M}\ x_{i}<a \\ 1\qquad a\leq x_{i}\leq b \\ 1-\frac{x_{i}-b}{M}\quad x_{i}>b \end{aligned} \right.$M=max{∣xmin​−xi​∣,∣xi​−xmax​∣}xi​=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​1−Ma−xi​​ xi​<a1a≤xi​≤b1−Mxi​−b​xi​>b​
栗子：（设人体温度最健康的区间是在$[36.0,37.0]$[36.0,37.0]）

温度（原）	温度（正向化指标）
35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.2	1
37.1	0.9286
38.4	0

其中$a=36 \quad b=37 \\ M=max\lbrace\vert 36-35.2\vert,\vert38.4-37\vert\rbrace=1.4$a=36b=37M=max{∣36−35.2∣,∣38.4−37∣}=1.4

2.2 正向化矩阵标准化

目的： 消除不同指标量纲的影响
假设有$n$n个对象，$m$m个指标，其经过正向化后的矩阵表示如下：
$\left( \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1m}\\ x_{21} & x_{22} & ... & x_{2m}\\ ... & ... & ... & ...\\ x_{n1} & x_{n2} & ... & x_{nm} \end{array} \right) \\ 那么，其标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素，都需要进行：\\ z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_{ij}^2}} \\ 即,(每一个元素/其所在列求和后开平方的值)$⎝⎜⎜⎛​x11​x21​...xn1​​x12​x22​...xn2​​............​x1m​x2m​...xnm​​⎠⎟⎟⎞​那么，其标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素，都需要进行：zij​=i=1∑n​xij2​​xij​​即,(每一个元素/其所在列求和后开平方的值)
注意：标准化的方法有很多，没有必要局限于这一个，只要都能达到消除量纲的影响的结果就行

计算得分并归一化

Step1

由上述得到的$Z$Z矩阵，进而得到最优向量$Z_{j}^+ =\mathop{max}\limits_{{1\leq i\leq m}}\vert Z_{ij}\vert$Zj+​=1≤i≤mmax​∣Zij​∣和最劣向量$Z_{j}^-=\mathop{min}\limits_{1\leq i \leq m}\vert Z_{ij}\vert$Zj−​=1≤i≤mmin​∣Zij​∣

Step2

计算所选取或构建的每个指标和最优向量的欧氏距离$D^+ = \sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(Z_{ij}-Z_{j}^+)^2}$D+=j=1∑n​(Zij​−Zj+​)2​和最劣向量的距离$D^-=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(Z_{ij}-Z_{j}^-)^2}$D−=j=1∑n​(Zij​−Zj−​)2​

Step3

最后得到与最优值的相对接近程度$W_{i}=\frac{D_{i}^-}{D_{i}^++D_{i}^-}$Wi​=Di+​+Di−​Di−​​

2.3 Topsis总算法流程

三 部分说明

现实问题中对于这些评价指标的重要性会有一系列的判断说明，跟上篇博客AHP相关，我们可以通过层次分析法来判断各个指标的重要性程度，仅需满足
$\sum w_{i} = 1$∑wi​=1
因为层次分析法存在着主观赋值的成分，一般推荐用熵权法作为修正，但是目前我还没有学习，所以先不提这个，之后修改博客的时候会引入链接哒~

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1. 如果元素均为正数，也可以用$x_{i}=\frac{1}{x_{i}}$xi​=xi​1​ ↩︎

2. 之后的中间型指标和区间型指标也采用相同思想 ↩︎