Linear Algebra(MIT)

Lecture1 方程组的几何解释

考虑如下线性方程组AX=b，存在两种几何解释：
$\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \\ \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ \end{matrix}\right]$[1−2​2−1​][xy​]=[13​]
1、从行图像的角度来看，该方程的解为以下二元一次方程组的解：
$\begin{cases} x+2y=1\\ -2x-y=3 \end{cases}${x+2y=1−2x−y=3​
从几何的角度来讲，该方程的解为二维空间中对应的两条直线的交点，直线方程对应的图像如下图所示，如下图所示：

2、从列图像的角度来看将会得到一个全新的观念，方程组AX=b可以看做是利用多个列向量的线性组合来表征空间中的某一个向量,同样是上面的方程可以改写为以下的形式：
$x\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ \end{matrix}\right]+y \left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ \end{matrix}\right]$x[1−2​]+y[2−1​]=[13​]
则该方程的几何意义可以看做两个列向量的线性组合，而每一个列向量对应的乘积系数$(x,y)^T$(x,y)T便是方程组的解向量。下图为矩阵A对应的两个原始列向量以及其对应的目标向量。