常用数学公式（一）

1. 自然常数e$e$=limx→∞=(1+1x)x=e$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}=(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$；
2. 导数就是曲线的斜率，反映曲线改变的快慢；
3. 二阶导数反映斜率改变的快慢，表征曲线的凹凸性；
4. 常用函数的导数：
   
   1. C′=0$C^{\prime }=0$
   2. (xn)′=nxn−1$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
   3. (sinx)′=cosx$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
   4. (cosx)′=−sinx$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
   5. (ax)′=axlna$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$
   6. (ex)′=ex$(e^x{)}^{\prime }=e^x$
   7. (logax)′=1xlogae$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}{\log }_{a}e$
   8. (lnx)′=1x$({\ln }_x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
   9. (u+v)′=u′+v′$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
   10. (uv)′=u′v+uv′$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
5. 积分的应用：
   
   1. 求解幂指函数f(x)=xx（x>0）$f(x)=x^x（x>0）$的最小值：
   2. 求解lnN!$\ln N!$：
      lnN!=∑Ni=1lni≈∫N1lnxdx$\ln N!=\sum _{i=1}^N\ln i\approx {\int }_1^N\ln xdx$
      =xlnx|N1−∫N1xdlnx（由分部积分得）$=x\ln x{|}_1^N-{\int }_1^{N}xd\ln x（由分部积分得）$
      =NlnN−∫N11dx（由dlnx=(lnx)′=1xdx得）$=N\ln N-{\int }_1^{N}1dx（由d\ln x=(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}dx得）$
      =NlnN−N+1$=N\ln N-N+1$
      →N(lnN−1)$\to N(lnN-1)$
   3. 分部积分公式：由(uv)′=uv′+u′v$(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+u^{\prime }v$，得uv′=(uv)′−u′v$u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$ 或u′v=(uv)′−uv′$u^{\prime }v=(uv{)}^{\prime }-u{v}^{\prime }$。两边同时积分，得∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$或∫vdu=uv−∫udv$\int vdu=uv-\int udv$
      综上，分部积分公式：∫baudvdxdx=[uv]ba−∫bavdudxdx${\int }_a^{b}u\frac{dv}{dx}dx=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}v\frac{du}{dx}dx$
6. 泰勒公式(Taylor公式)和麦克劳林公式：
   
   1. 泰勒公式：
      f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)(x−x0)22!+⋅⋅⋅+f(n)(x0)(x−x0)nn!+Rn(x)$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f^{″}(x_0)\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+\cdot \cdot \cdot +f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0{)}^n}{n!}+R_n(x)$$
   2. 麦克劳林公式：
      f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)x″2!+⋅⋅⋅+f(n)(0)x(n)n!+O(xn)$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{″}(0)\frac{x^{″}}{2!}+\cdot \cdot \cdot +f^{(n)}(0)\frac{x^{(n)}}{n!}+O(x^n)$$
   3. 泰勒公式的应用：
      
      1. sinx=x−x33!+x55!−x77!+x99!+⋅⋅⋅+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+R2m$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdot \cdot \cdot +(-1{)}^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}$
      2. ex=1+x+x22!+x33!+⋅⋅⋅+xnn!+Rn$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdot \cdot \cdot +\frac{x^n}{n!}+R_n$
7. 方向导数：如果函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿任一方向L$L$的方向导数都存在，且有：
   ∂f∂l=∂f∂xcosφ+∂f∂ysinφ$$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }l}=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\cos \phi +\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\sin \phi$$
   
   其中，φ$\phi$为x$x$轴到方向L$L$的转角
8. 梯度：设函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$在平面区域D内有一阶连续偏导数，则对于每一个点P(x,y)∈D$P(x,y)\in D$，向量
   (∂f∂x,∂f∂y)$$(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y})$$
   为函数z=f(x,y)$z=f(x,y)$在点P$P$的梯度，记作gradf(x,y)$gradf(x,y)$
   梯度的方向是函数在该点变化最快的方向（考虑一座解析式为z=H(x,y)$z=H(x,y)$的山，在(x0,y0)$(x_0,y_0)$的梯度是在该点坡度变化最快的方向）
   方向导数和梯度详细介绍