Java回溯法解n皇后问题

状态空间图

用于呈现问题求解的过程。其中问题被划分为多个状态，图中每个节点代表一种可能的状态，节点之间的连线则代表状态转换的操作，从起始状态到目标状态的路径，就是问题的解。

以假币问题为例，6枚硬币，其中存在1枚假币。如何用秤测量3次，识别出假币？

下面的状态空间图展示了问题求解的过程。

其中，节点代表问题的状态。以带*的节点为例，[C1 C2 C3 C4] 代表在这4枚硬币中存在假币。C1C2 : C5C6，表示将C1C2放左侧，C5C6放右侧，称量两侧重量是否相等。

节点之间的连线，代表了导致状态转换的操作，这里是称量结果相等，或不相等。
Java回溯法解n皇后问题

回溯法

回溯法将问题求解划分为多个状态，状态之间的转换需要符合问题的约束条件。回溯法首先尝试不断深入探索状态空间图，当第n步没有符合约束的合法转换时，回溯法退回第n-1步，并撤销第n-1步的操作，重新选择其他合法的状态，若第n-1步仍然没有其他合法状态转换，则继续退回第n-2步，以此类推。

回溯法求解n皇后问题

在n皇后问题中，以回溯法求解步骤为：

确定约束条件：
棋盘上任意两个子，不能在同一行，同一列，同一对角线

求解步骤：
1.第n步，确定第n行的落子，即每一步从1~n列选择1个合法的列m，其中m的取值必须符合约束条件，并且约定，优先选择序号小的列。
2.当第n步，没有合法的列可选，则退回n-1步，撤销n-1步的选择，在第n-1步中尝试下一个合法的列。

Java代码：

package cn.lin.test;

import java.util.Arrays;

/**
 * 	八皇后问题
 * 	回溯：
 * 		当状态不合法，回溯到上一步，重新选择
 * 	约束条件：
 * 		不能在同一行、同一列、对角线
 * @author ljf
 *
 */
public class NQuenesSolver {
	
	// n皇后
	private final int n;
	
	/**
	 * 	路径：数组下标对于行，数组元素值对应列
	 */
	private int[] path;
	
	// 当前探索到第几行
	private int latestRow;
	
	public NQuenesSolver(int n) {
		this.n = n;
		path = new int[n];
		//初始-1，表示每一行都没放皇后
		Arrays.fill(path, -1);
		latestRow = 0;
	}
	
	/**
	 * 
	 * @return 每1行中，棋子所在列
	 */
	public int[] search() {
		while (true) {
			//无条件向前走
			moveForward();
			//状态合法吗？
			if (!checkState()) {
				//还可以向前走吗？
				if (hasChoice()) {
					continue;
				} else {
					//回溯
					reset();
					continue;
				}
			}
			System.out.println("lastestRow:" + latestRow + ", path:" + Arrays.toString(path));
			if (isSolved()) {
				return path;
			}
			//下一行
			latestRow++;
		}
	}
	
	boolean hasChoice() {
		return path[latestRow] < n - 1;
	}
	
	private void moveForward() {
		path[latestRow]++;
	}
	
	//先会判断状态是否合法，如果有n个合法棋子，说明问题已解
	private boolean isSolved() {
		if (latestRow == n - 1) {
			return true;
		}
		return false;
	}
	
	/**
	 * 	回溯
	 */
	private void reset() {
		while (true) {
			path[latestRow] = -1;
			latestRow--;
			if (hasChoice()) {
				break;
			}
		}
	}
	
	private boolean checkState() {
		if (latestRow == 0) {
			return true;
		}
		//只确定最后一个皇后是否合法
		for (int i = 0; i < latestRow; i++) {
			if (!isLegal(i, path[i], latestRow, path[latestRow])) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}
	
	private boolean isLegal(int x1, int y1, int x2, int y2) {
		//不在同一行或同一列
		if (x1 == x2 || y1 == y2) {
			return false;
		}
		//计算斜率，对角线上，则斜率为1或-1
		double slash = (y2 - y1) * 1.0 / (x2 - x1);
		//不在对角线
		if (slash == -1 || slash == 1) {
			return false;
		}
		return true;
	}

	public static void main(String[] args) {
		NQuenesSolver eightQuenes = new NQuenesSolver(8);
		System.out.println(Arrays.toString(eightQuenes.search()));
	}
}

输出：
Java回溯法解n皇后问题