【396】逻辑一点通

上篇 推理

判断的定义

特征

1.有所断定

2.具有真假值

判断与语句

同一个判断可以用不同的语句表达

e.g. 我是中国人。

双重否定句：我不可能不是中国人/没有可能我不是中国人。

反问句：难道我不是中国人吗？

并非所有的语句都能表示判断

一般疑问句：请问我是中国人吗？

祈使句：请你做一个堂堂正正的中国人。

感叹句：啊，中国人！（仅表达情感时不表示判断）

判断的种类

直言判断

标准式

A.所有s都是p（全称肯定判断）

E.所有s都不是p（全称否定判断）

I.有的s是p（特称肯定判断）

O.有的s不是p（特称否定判断）

a.这个s是p（单称肯定判断）

e.这个s不是p（单称否定判断）

梳理规则：1.所有→单称→有的 2.是→是，否→否

[注]特称：至少有一个，至多全部。 单称：明确的对象。

常见变形

1.没有s不是p = 所有s都是p （包含）

例：无奸不商=没有商人不是奸诈的=所有商人都是奸诈的

2.不p不s / 没有p不能s = 所有s都是p （条件）

例：不想当将军的士兵不是好士兵=所有好士兵都想当将军

3.没有s是p = 所有s都不是p

例：没有人是十全十美的=所有的人都不是十全十美的

4.s不都是p = 有的s不是p

例：这些人不都是会计硕士=这些人有的不是会计硕士

5.s不都不是 = 有的s是p

例：真心付出不都不被人理解=有的真心付出被人理解

[易错点]分清包含关系与条件关系

包含关系：前满足后

条件关系：后满足前

如：没有成功者不忍耐；没有忍耐不会成功

无商不奸；无奸不商

对当方阵

上面含有四对关系：

1/2/3 矛盾关系：必一真一假

4 上反对关系：不同真，至少一假

5 下反对关系：不同假，至少一真

T/F 包含关系：上真推下真，下假推上假

换位推理

$全称用单箭头“\to”表示推理，\color{blue}{只可逆否，不可换位}\\ \color{black}S\to P =\neg P\to\neg S\qquad S\to\neg P=P\to\neg S\\ 特称用双箭头“\Rightarrow”表示推理，\color{blue}{只可换位，不可逆否}\\ \color{black}S\Rightarrow P=P\Rightarrow S\qquad S\Rightarrow\neg P=\neg P\Rightarrow S$全称用单箭头“→”表示推理，只可逆否，不可换位S→P=¬P→¬SS→¬P=P→¬S特称用双箭头“⇒”表示推理，只可换位，不可逆否S⇒P=P⇒SS⇒¬P=¬P⇒S

$\begin{array}{} S\to P\ (T)\qquad S\to\neg P_{上反对}(F) \qquad S\Rightarrow P_{包含}(T)\qquad S\Rightarrow \neg P_{矛盾}(F)\\ P\to S\ (?)\qquad P\to\neg S_{逆否}(F)\qquad P\Rightarrow S_{互换}(T)\qquad P\Rightarrow \neg S\ (?)\\ \hline S\Rightarrow P\ (T)\qquad S\Rightarrow\neg P_{下反对}(?)\qquad S\to P_{反包含}(?)\qquad S\to\neg P_{矛盾}(F)\\ P\Rightarrow S_{互换}(T)\qquad P\Rightarrow\neg S\ (?)\qquad\qquad P\to S\ (?)\qquad P\to\neg S_{逆否}(F) \end{array}$S→P (T)S→¬P上反对​(F)S⇒P包含​(T)S⇒¬P矛盾​(F)P→S (?)P→¬S逆否​(F)P⇒S互换​(T)P⇒¬S (?)S⇒P (T)S⇒¬P下反对​(?)S→P反包含​(?)S→¬P矛盾​(F)P⇒S互换​(T)P⇒¬S (?)P→S (?)P→¬S逆否​(F)​​

关系判断

对称性关系

对称关系：一定有

半对称关系：不一定有

反对称关系：一定没有

传递性关系

传递关系：一定有

半传递关系：不一定有

反传递关系：一定没有

联言判断与选言判断

联言判断

1.符号：$\wedge$∧

2.标志词：并且；和；但；而；兼得；既…又…；不但…而且…；虽然…但是…

3.联言命题真假

$\color{black}{ \begin{array}{c|c|c} P & Q & P\wedge Q\\ \hline T & T &T\\ \hline T&F&F\\ \hline F&T&F\\ \hline F&F&F\\ \end{array} }$PTTFF​QTFTF​P∧QTFFF​​

相容选言判断

1.符号：$\vee$∨

2.标志词：或者…或者…；可能…也可能…；也许…也许…；不是…就是…；至少有一个

3.相容选言命题真假

$\color{black}{ \begin{array}{c|c|c} P & Q & P\vee Q\\ \hline T & T &T\\ \hline T&F&T\\ \hline F&T&T\\ \hline F&F&F\\ \end{array} }$PTTFF​QTFTF​P∨QTTTF​​

不相容选言判断

1.符号：$\forall$∀

2.标志词：要么…要么…；…二者必居其一；…择一…

3.不相容选言命题真假

$\color{black}{ \begin{array}{c|c|c} P & Q & P\ \forall Q\\ \hline T & T &F\\ \hline T&F&T\\ \hline F&T&T\\ \hline F&F&F\\ \end{array} }$PTTFF​QTFTF​P ∀QFTTF​​

总结

矛盾与等价

$\color{black}{ \begin{array}{c|c} P\wedge Q&\neg(P\wedge Q)=\neg P\vee\neg Q\\ \hline P\vee Q&\neg(P\vee Q)=\neg P\wedge\neg Q\\ \hline P\ \forall \ Q&\neg(P\ \forall\ Q)=(P\wedge Q)\vee(\neg P\wedge\neg Q) \end{array} }$P∧QP∨QP ∀ Q​¬(P∧Q)=¬P∨¬Q¬(P∨Q)=¬P∧¬Q¬(P ∀ Q)=(P∧Q)∨(¬P∧¬Q)​​

做题总结

$\color{black}{ \begin{array}{c|c|c|c|c} &P真Q假&P假Q真&P真Q真&P假Q假\\ \hline P\ \forall\ Q&T&T&F&F\\ \hline P\vee Q&T&T&T&F \end{array} }\\ \ \\ 由此可知，若P\ \forall\ Q真，则P\vee Q真；若P\ \forall\ Q,P\vee Q只有一真，则P\vee Q真,且P真Q真$P ∀ QP∨Q​P真Q假TT​P假Q真TT​P真Q真FT​P假Q假FF​​ 由此可知，若P ∀ Q真，则P∨Q真；若P ∀ Q,P∨Q只有一真，则P∨Q真,且P真Q真

下篇 论证