语言模型及RNN模型

语言模型

一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为$T$T的词的序列$w_1, w_2, \ldots, w_T$w1​,w2​,…,wT​，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：

$P(w_1, w_2, \ldots, w_T).$P(w1​,w2​,…,wT​).

语言模型

假设序列$w_1, w_2, \ldots, w_T$w1​,w2​,…,wT​中的每个词是依次生成的，我们有

例如，一段含有4个词的文本序列的概率

$P(w_1, w_2, w_3, w_4) = P(w_1) P(w_2 \mid w_1) P(w_3 \mid w_1, w_2) P(w_4 \mid w_1, w_2, w_3).$P(w1​,w2​,w3​,w4​)=P(w1​)P(w2​∣w1​)P(w3​∣w1​,w2​)P(w4​∣w1​,w2​,w3​).

语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如，$w_1$w1​的概率可以计算为：

其中$n(w_1)$n(w1​)为语料库中以$w_1$w1​作为第一个词的文本的数量，$n$n为语料库中文本的总数量。

类似的，给定$w_1$w1​情况下，$w_2$w2​的条件概率可以计算为：

其中$n(w_1, w_2)$n(w1​,w2​)为语料库中以$w_1$w1​作为第一个词，$w_2$w2​作为第二个词的文本的数量。

n元语法

序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。$n$n元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面$n$n个词相关，即$n$n阶马尔可夫链（Markov chain of order $n$n），如果$n=1$n=1，那么有$P(w_3 \mid w_1, w_2) = P(w_3 \mid w_2)$P(w3​∣w1​,w2​)=P(w3​∣w2​)。基于$n-1$n−1阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为

$P(w_1, w_2, \ldots, w_T) = \prod_{t=1}^T P(w_t \mid w_{t-(n-1)}, \ldots, w_{t-1}) .$P(w1​,w2​,…,wT​)=t=1∏T​P(wt​∣wt−(n−1)​,…,wt−1​).

以上也叫$n$n元语法（$n$n-grams），它是基于$n - 1$n−1阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当$n=2$n=2时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：

循环神经网络

本节介绍循环神经网络，下图展示了如何基于循环神经网络实现语言模型。我们的目的是基于当前的输入与过去的输入序列，预测序列的下一个字符。循环神经网络引入一个隐藏变量$H$H，用$H_{t}$Ht​表示$H$H在时间步$t$t的值。$H_{t}$Ht​的计算基于$X_{t}$Xt​和$H_{t-1}$Ht−1​，可以认为$H_{t}$Ht​记录了到当前字符为止的序列信息，利用$H_{t}$Ht​对序列的下一个字符进行预测。

循环神经网络的构造

我们先看循环神经网络的具体构造。假设$\boldsymbol{X}_t \in \mathbb{R}^{n \times d}$Xt​∈Rn×d是时间步$t$t的小批量输入，$\boldsymbol{H}_t \in \mathbb{R}^{n \times h}$Ht​∈Rn×h是该时间步的隐藏变量，则：

$\boldsymbol{H}_t = \phi(\boldsymbol{X}_t \boldsymbol{W}_{xh} + \boldsymbol{H}_{t-1} \boldsymbol{W}_{hh} + \boldsymbol{b}_h).$Ht​=ϕ(Xt​Wxh​+Ht−1​Whh​+bh​).

其中，$\boldsymbol{W}_{xh} \in \mathbb{R}^{d \times h}$Wxh​∈Rd×h，$\boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}$Whh​∈Rh×h，$\boldsymbol{b}_{h} \in \mathbb{R}^{1 \times h}$bh​∈R1×h，$\phi$ϕ函数是非线性**函数。由于引入了$\boldsymbol{H}_{t-1} \boldsymbol{W}_{hh}$Ht−1​Whh​，$H_{t}$Ht​能够捕捉截至当前时间步的序列的历史信息，就像是神经网络当前时间步的状态或记忆一样。由于$H_{t}$Ht​的计算基于$H_{t-1}$Ht−1​，上式的计算是循环的，使用循环计算的网络即循环神经网络（recurrent neural network）。

在时间步$t$t，输出层的输出为：

$\boldsymbol{O}_t = \boldsymbol{H}_t \boldsymbol{W}_{hq} + \boldsymbol{b}_q.$Ot​=Ht​Whq​+bq​.

其中$\boldsymbol{W}_{hq} \in \mathbb{R}^{h \times q}$Whq​∈Rh×q，$\boldsymbol{b}_q \in \mathbb{R}^{1 \times q}$bq​∈R1×q。