Euler图：
Euler迹：经过连通图G的每条边的迹。
Euler闭迹：经过连通图G的每条边，且回到起点。
Euler图：存在欧拉闭迹的图。
ps：1->2，一个点出现一次，一定要用掉2条边，每条边又只能出现一次，则表示每个点出现一次，则用2条新边。
2->3，若每个点的度至少是2，根据握手定理，m≥n，因此必定有圈。移除一个圈，则圈内的所有的点的度数，都要减2，因此原图中每个点的度还是偶数。
3->1，从v点开始，走完Z1圈之后回到v点，然后走Z2圈，再回到v点，因此形成了一条闭迹。
ps：没有奇点，则所有点都是偶点。反之，是对推论的充分性的证明。不存在只有一个奇点的情况，不然所有度加起来，就为偶数了。
中国邮递员问题：
邮递员从邮局出发，递送邮件，然后返回邮局，要求辖区每条街至少走一遍，且走过的总路程最短，应如何选择路线？
最优环游：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条包含每条边（允许重复），且边权之和最小的闭途径。
欧拉环游：一条通过G的每条边恰好一次的环游。
若G是Euler图，则G的任何Euler环游都是最优环游。
欧拉图中确定欧拉环游的，Fleury算法：
若G不是Euler图，则G的任何环游，通过某些边不止一次，可通过下列算法求出G的一条最优环游。
不是Euler图，求最优环游的方法：
例子：
ps：所谓交换重复边和不重复边，就是在不重复的边上，加多一个重复的边，然后把原来重复的边给删掉。
不是Euler图，关于赋权图的情况：
对不是Euler图，求赋权图的最优环游的算法：
例子：
Hamilton图：
Hamilton路（圈）：经过图G中每个点仅一次的路（圈）。
Hamilton图：存在Hamilton圈的图。
ps：若S中含有的顶点，都是在C中均不邻接的顶点，则ω(C-S)=，也至多为
。被减的图的顶点增多，会增强图的连通性，相应的连通分支数可能会减小。
ps：定理不满足，为啥就一定是极大非H简单图了？不太充分。G不能是完全图，不然就有H圈了。包含uv边才能成为H图，因此必然有以uv为端点的H路。T集合表示的是，与v邻接的端点，S集合表示的是，与u邻接的端点，的左端点。
ps：充分性，u和v在原图中，不相连接，因此添加uv边后，u和v点在G1图中的度，各加1。i不能等于n，因为等于n后，不存在，且u和
本来相连。因为u点在G1中，还和vn点和v点相连接，故u在G1中的度要减-2。对u有
个点相连，故根据一一对应的关系，v不能也有
个点相连，不然就形成H圈了。
闭图：任意满足这个关系的，点对u和v，都相连接。
ps：因为G是交图，因此w在G中的度数会相应地减少。
是G的闭包：G和
有相同的点集，在它们之间
，没有任何一个图H是闭图。
是闭图，G不是。
闭包的构造过程：
把度数之和至少是，图的顶点个数的，非邻接顶点对，递归地连接起来，直到不再有这样的顶点对存在时为止。
例子：
ps：有上面证明可得，，因为
是G的闭包，因此，
不可能是闭图，除非
和
相等。
ps：根据引理1，所关联的两个顶点u和v，在
中有
，且不邻接。又因为
是H图，所以
也是H图。
ps：推论2(1)，最小度也≥n/2，则G一定是H图。(2)题设也没说闭包是H图鸭？
定理8例子：
度极大非Hamilton图：它的度不弱于其他非H图。
表示图
。
ps：v点与的m个点相连。
之后，留下了
的m个孤立点和
这1个连通分支。
定理点评：非H简单图，一定度弱于某个图，但H简单图可能度弱于，也可能不度弱于。
ps：n-m-1是自身每个点原有的度n-2m-1，然后加上与
相关联的m条边，因此等于n-m+1。n-1是
中每个点的度数。
例子：
定理点评：满足条件一定是H图，但H图不一定满足这个条件。
ps：的度数为，
有m个点，每个点度数为n-1；
有m个孤立点，每个点度数为m；
有n-2m个点，每个点的度数数为n-2m-1+m=n-m-1。有相同的度序列，边数肯定也相等。当m=1时，
等于
。
旅行售货员问题：
问题：一个旅行售货员想访问若干城市（假定各城镇之间均有路可通），然后返回。问如何安排路线使其能恰好访问每个城镇一次，且走过的总路程最短。
最优H圈：一个赋权完全图中，找出一个有最小权的Hamilton图。
边交换技术：
ps：即交换和
或者
和
。
例子：
任取一个H圈，然后选定L点与其它任意一点的连线，若符合要求，则进行交换。
上述方法求解的数，是最优H圈的上界。
求最优H圈的下界为：
例子：