回文树 PAM 学习笔记

摘自 《2017 年国家集训队论文》“ 回文树及其应用 ”

• 一些规定 ：$\Sigma$Σ 表示字符集大小
  串 $S$S 和字符 $c$c，用 $Sc$Sc 表示将 $c$c 接在 $S$S 的后面

• 回文树：回文树是一棵由两棵树组成的森林，两棵树的根分别为 $odd,even$odd,even，回文树上的除根以外的一个结点表示一个字符串，每条边有一个字符，$len$len 表示一个结点代表的字符串的长度，一个结点代表的字符串可以由如下方式得到：
  从根开始沿着路径走，走过一条边就将边上的字母添加到两边，即 $T\to cTc$T→cTc，其中从 $odd$odd 出发的第一步只添加一个字符
  $fail$fail 表示一个结点的失配指针，一个成型的回文树如下：
  

• 容易注意到，一个长为 $|S|$∣S∣ 的字符串的 $PAM$PAM 结点数为 $|S|+2$∣S∣+2，要证明这点，我们只需要证明一个长为$|S|$∣S∣ 的串的本质不同子串数为 $|S|$∣S∣，考虑数学归纳法：
  $|S|=1$∣S∣=1 时成立
  $|S|>1$∣S∣>1 时假设$S=S'c$S=S′c，考虑 $c$c 与前面的串形成的新的回文后缀，不妨设这些右端点为 $l_1,l_2,\dots,l_k$l1​,l2​,…,lk​，若右端点为空集，那么 $c$c 自成回文串，否则注意到若 $S[l_1..|S|],S[l_k..|S|]$S[l1​..∣S∣],S[lk​..∣S∣] 是一个回文串的话，那么 $S[l_1..l_1+|S|-l_k+1]$S[l1​..l1​+∣S∣−lk​+1] 也为一个回文串，而 $l_1+|S|-l_k+1\le |S|-1$l1​+∣S∣−lk​+1≤∣S∣−1 是之前出现过的，故一个末尾字符新产生的不同回文串只有一个，这是它的最长回文后缀

• 构造方法：
  我们需要对每个串 $Sc$Sc 找到它的最长回文后缀，对此，我们在 $S$S 代表的串的最长后缀的 $fail$fail 链上找一个最长的串 $T$T，满足 $S[|S|-len_t]=c$S[∣S∣−lent​]=c，那么 $Sc$Sc 代表的回文串为 $cTc$cTc，我们新建一个结点表示这个点后，还需要求出它的 $fail$fail，这一步相当于在 $fail_T$failT​ 的链上求一个最长的串 $v$v 满足 $S[|S|-len_v]=c$S[∣S∣−lenv​]=c

• 复杂度分析：空间复杂度 $O(|S|)$O(∣S∣)，时间复杂度 $O(|S|\log \Sigma)$O(∣S∣logΣ)
  考虑势能分析跳 $fail$fail 树的这一步，一是找最长回文后缀的贡献，一是找 $fail$fail 的贡献，二者是同阶的，我们分析前者，假设最长回文后缀为 $len_i$leni​，那么有 $len_{i+1}\le len_i+1$leni+1​≤leni​+1，故只会增长 $n$n 次，所以一共会跳至多 $n$n 步 $fail$fail，在 $fail$fail 处检查 $c$c 是否存在，花费 $\log \Sigma$logΣ 的代价
  当然也可以变成 $O(|S|\Sigma)+O(|S|)$O(∣S∣Σ)+O(∣S∣)

• $|right|$∣right∣ 集合，即 $fail$fail 树中子树右端点的点集，性质与 $SAM$SAM 一样，表示出现次数

• 前端插入：
  对此，我们需要维护 $fail'$fail′ 来寻找最长回文前缀，而注意到每个串都是回文串的性质，发现有 $fail'=fail$fail′=fail 的性质

• 不基于势能分析的插入方法：
  我们对一个结点 $t$t 维护 $quick(c)$quick(c) 表示 $t$t 最长的满足前驱为 $c$c 的回文后缀
  注意到 $t$t 的 $quick$quick 和 $fail_t$failt​ 的 $quick$quick 没有什么区别，我们将 $fail_t$failt​ 的 $quick$quick 复制给 $t$t
  令 $c$c 为 $fail_t$failt​ 的前驱，后用 $fail_t$failt​ 来更新 $t$t 的 $quick(c)$quick(c) 即可
  在 $trie$trie 树上建 $PAM$PAM 就需要不基于势能分析的插入方法