卡特兰数Catalan

模拟赛考了扩展卡特兰，然鹅我连卡特兰数是什么都不知道，打的爆搜。
本来以为是难度较高的知识，结果一搜好多普及组的题…

卡特兰数

如果你能把一道求方案数的题的模型转化成，有两个选择，设成1，-1，每个位置的选择表示成1，-1，当前缀和s＞0时，选择合法，s＜0时不合法，求方案数。或者有当前方案数能用 i - 1的方案数和n-i的方案数求出。
那么这道题可以直接用卡特兰数解
经典的题就是进栈出栈，括号匹配，给定直线求不超过直线到终点的方案数，等。
我们还是用一道题来了解卡特兰数
洛谷上就有经典的题P1044栈


我们先将模型转换
首先我们可以知道，进出站的数$a_i = i$ai​=i也就是数列是严格递增的，
我们设k为当前最后一个出栈的数， 设f[n]表示n个数全部出栈的方案数，那么f[0] = 1, f[1] = 1；
那么当k出栈后，k出栈前的数能够分为两种：
一种是大于k的数，
一种是小于k的数，
大于k的数一定比k后进栈，小于k的数一定比k先进栈，于是k就把整个进出栈的数字分为两部分。
那么对于前面的一部分：
即小于k的部分，我们可以用f[k-1]表示出来，对于大于k 的部分，我们可以用f[n-k]表示出来。
那么k的方案数就是f[k-1] * f[n-k]
对于这道题，每一个数都可能是最后一个输出的
所以答案就是$\sum_{i=1}^nf[i-1]*f[n-i]$∑i=1n​f[i−1]∗f[n−i]
那么这个就是卡特兰数，
即一个数列存在关系f[0] = 1, f[1] = 1, 并且满足递推式
$f[n] = f[0] * f[n-1] + f[1] * f[n-2] ... f[n-1] * f[0]$f[n]=f[0]∗f[n−1]+f[1]∗f[n−2]...f[n−1]∗f[0]

当然数学家们看见这么复杂的递推式就想着把式子化简，
于是就有了递推式
$f[n] = \frac{f[n-1] * (4n -2)}{n+1}$f[n]=n+1f[n−1]∗(4n−2)​
$\sum_{i=0}^n\binom{n}{2n} - \binom{n-1}{2n}或者\frac{\binom{n}{2n}}{n+1}$∑i=0n​(2nn​)−(2nn−1​)或者n+1(2nn​)​
可以根据公式转换模型，判断是否能用卡特兰数解