一些有难度的网络流问题

本质是线性规划

最小割建模

NOI2010 海拔

一个的网格，每跳变的两个方向都有一定数目的人流，每个格点都有海拔，一个人爬坡需要付出高度差的代价，下坡不付出代价，左下角高度为，右上角高度为，求安排其它点盖度最小化总代价。

对偶图+Dijikstra

调整法证明高度一定是01且构成一个割。

TCO Semifinal Colorful Tree

一个DAG，保证边一定满足，且边的区间一定只存在包含不存在相交，每个点都有一个颜色，每种颜色要不全都经过要不全都不经过，边有边权，求最短路

边区间不相交构成一棵树，其实就是原图对偶图，最短路转化为最小割，
连若干inf边保证同色点在一边，向父亲连inf保证形态。

最大权闭合子图

有个物品，每个物品有一个价值（可负），你需要选出一个物品的集
合，最大化其中物品的总价值，并满足个限制：选了就必须选
择。

正价值物品与连边，负价值物品与连边，使用容量无穷的边来限制选
了就必须选择。

完美理论

给定两个编号都是1到N的树，你需要选的一个子集，最大化选到的元素权值（可负）的和，同时你选的集合在两棵树上都是连通子图

枚举根，选x必须选x的父亲，最大权闭合子图。

SRM 577 HardBoardPainting

一个有障碍的网格，每次粉刷一横列或者一纵列，不可重复粉刷，求最少的粉刷次数粉刷所有非障碍路。

考虑两个点是横着被刷还是竖着被刷

极小割对应涂色法，极小割对元素有唯一划分，与横边界相连的横涂与纵边界相连的纵涂。

每个格子当成变量，一些有难度的网络流问题表示横向粉刷这个格子，表示纵向粉刷，横着相邻的两个格子若在同一个集合就可以一起粉刷获得收益，纵向亦然。最大权闭合图模型。

另一种做法：链接所有相邻的各自，从横向边界到纵向边界做最小割，除以二就是答案

证明：涂色法对应割，一条染色用割掉两端的边表示

极小割对应涂色法，极小割对元素有唯一划分，与横边界相连的横涂与纵边界相连的纵涂。

集合划分模型

考虑如下的整数划分

即除了每个元素取0,1会有代价的差异之外，若两个变量取值不等则会付出额外的代价，且根据谁选择1代价可变。

根据的取值把元素划分成两个集合，可以容易的建立出最小割模型，采用最大流求解。

集合划分模型只处理不同集合的元素对之间的代价，若要相同集合付出代价，需是二分图黑白染色后处理。

SRM 594 Medium FoxAndGo3

一个围棋棋盘，任意两个白子不相等，你要加入若干个黑子并提出白子，最大化空格数目

注意到与白子与相邻的空格最终不可能都为空格，于是连边，接着做最大点独立集，显然是二分图。

最优选择

给出一张个点的无向图，每条边的边权定义为所链接两点点权的异或（异或的性质：每一位独立），有些点权确定，有些没有，请确定所有点的点权，使得边权和最小

每一位分开考虑，除固定权值外，此位置不同才付出代价，集合划分模型。

SRM 558 Hard Surrounding Game

一个人在一个的棋盘上面放棋子，在放棋子有的代价，一个各自被占领当且仅当其上有棋子或者其所有相邻格子都有棋子，被占领会获得的收益，求最大收益(注意要减去代价)

每个格子建立两个点，第一个点表示是否被占领，第二个点表示周围格子是否全部被占领，为避免重复统计收益，还要黑白染色厚在这两个点之间要连边。

离散变量模型

离散变量型网络流一般解决如下问题：

每个变量有若干个不同的取值，并且两个变量之间会对代价产生贡献。

一般贡献会和两个变量的差有关。

建图方式一般为，对一个点，拆个点并连成从到的链，割哪一条边就代表取哪个值，贡献用两条链之间的连边表达。

SRM 590 Hard FoxAndCity

一张个点的无向图，边权都为，你需要添加若干条便，最小化，是输入的，是1号点到i的最短路

比较经典的建模姿势

有边相连意味着一些有难度的网络流问题
于是可以每个点拆出一排点。

一些有难度的网络流问题就是离散变量，显然加边不可能让最短路变长，同时原本就有边的两个点最短路差不超过1.

SRM627 Hard LaserTowers

你有一个的矩阵，有些位置有方向固定的激光塔，激光塔能选择这个方向的一个敌人攻击，每个敌人有一个收益，两个激光塔的激光不能相交，求最大收益

对于一个图限制转弯次数（特殊边的经过次数）

有一个通用方法：拆点

每一点拆为横点和竖点

转化为最小割

离散变量为第几个敌人，横向到纵向的割，拆点保证不转多次弯。

BJOI2016 水晶

六边形网格中如图分布着能量源，还有个特定位置的水晶（可在能量源上），你需要炸掉一些水晶石得剩下的水晶不能组成三元环且没有两个水晶分列一个能量源的两侧，最大化剩余水晶的权值和。

考虑每个在能量源的水晶，把无能量源的点黑白染色，则要不炸掉能量源，要不炸掉全黑，要不炸掉全白，离散变量有三个取值，S=val>白=inf>A=1.1val>B=inf>黑=val>T。

最大流&&费用流

技巧主要有：

•      拆点

•      容量限制

•      流量平衡

•      建立超级源汇

•      动态加点

•      线性规划不等式变形（比如差分）

•      线性规划转对偶

•      流量分配

•      匹配与拓展

•      流量平衡

•      欧拉回路

•      带上下界的网络流

•      线性规划与对偶

流量分配

• 一般是把点上的要求变成流量。
• 入流和出流的对接表现方案。

SCOI2012 奇怪的游戏

给出一个的棋盘，每个格子上有一个数，可以给相邻的两个数同时，相邻指有公公便，求最少多少次操作可以将棋盘上的数变为同一个数，如果不可能输出.

对原棋盘进行黑白染色。设黑色格点有一些有难度的网络流问题个，数值和为；白色格点有个，数值和为。设最后所有的数都变成了x，则有：
，即：
。
I. 若，那么就二分答案并检验。
II. 若，那么只需要保证：
1)
2) x >= 棋盘中的最大数；
3) 能通过最大流的检验。

网络建模时，从S点向白色格点建边，流量为x减去格点上的数；从黑色格点向T建边，流量为x减去格点上的数。另外从白色格点向上下左右建边（不超出边界），流量为正无穷。
若求出来的最大流的二倍刚好等于所有格点需要被加上的数的总和，那么此x满足条件，否则不满足条件。