本博客来自于论文《fast global registration》，该论文介绍了一种快速全局配准部分重叠3D表面的算法，作者称其算法在速度和配准的准确性ICP等局部细化算法更快，且算法不涉及迭代采样，模型拟合或局部细化。
几何配准的典型流程包括全局对齐和局部细化，其中全局对齐即对两个表面的刚体运动进行初始估计，局部细化则不断优化这个初始估计以得到更好的配准效果。
大多数的全局对齐方法对候选点对进行操作，诸如有些模型采用位姿聚类或者是RANSAC作为迭代拟合模型，每次迭代对一组候选对应进行采样，根据这些对应关系产生对齐结果，并对结果进行评估，若找到效果好的对齐则可以进行下一步的迭代局部细化。然而，在这篇论文中，作者并没有进行迭代采样，模型拟合或局部细化，并且由于该算法不用重新计算对应关系，因此也要比ICP等局部细化算法更快。下面来具体分析一下这个算法的内容。
一、Pairwise Global Registration
（一）目标
目标是找到将点集P与点集Q对齐的刚体变换矩阵T。
取对应关系代表点集Q和Q之间的对应关系。为了完成优化变换矩阵T，我们定义公式
（1）。在这里的
是一个估算器，即
，用来完成验证和修剪。由于公式（1）较难优化，因此作者假设关系L，并假定优化目标公式为
。其中，点对关系
目标是最小化公式 ，因此在此处求偏导得到
，解得结果：
。将其带入我们假定的目标公式
，即可得到公式
。
（二）优化
显然刚刚提出的求解变换矩阵T的公式不是最优的（至于为啥不是最优的我也木有看懂。。。），于是，作者在这里将变换矩阵中的旋转变量w和变换向量t定义为六个参数的向量：
。于是，变换矩阵就可以线性表示为：
。这里的
是最后一次迭代的变换估计，使用高斯牛顿法
求解
。其中
是残差向量，
是雅可比矩阵。 通过使用
将ξ应用于Tk来更新T，然后将其映射回SE（3）组。
（三）对应关系
为了生成对应关系集合，作者使用了快速点特征直方图（FPFH）方法。
这里先补充一些特征聚类相关的知识点：点特征直方图以及快速点特征直方图。
对于p点的FPFH特征，类似的可以定义
。对于每一个
，我们寻找F(Q)中距离F(p)最近邻的点，同样，对于每一个
，我们寻找F(P)中距离F(q)最近邻的点。设
是这些对应关系的集合，在应用到算法里之前，作者用了两种测试来降低
中的异常值数目：
- Reciprocity test：对于
中的点对（p,q），当且仅当F(p)是F(q)在F(P)中的最近邻，且F(q)是F(p)在F(Q)中的最近邻，才能被保留在结果点对
中。
- Tuple test：从
，其中τ = 0.9。通过验证的关系对被保存在结果点对
中。
二、多向配准
在这里首先贴一下这个算法伪码：
1、目标
对于两个点集，定义点集关系
，则得到公式：
。与上面类似，定义点集对应关系
，则同前面介绍的一样，公式化简如下：
2、优化
作者在这里使用交替优化来完成。假定L的公式为：。定义
为第 i 次变换估计，
则被定义为
，即可以求
。正如前面那样，我们使用高斯牛顿法
求解
。在这里，对应关系永远不会更新。 每次迭代只执行两个步骤：为每个点对应计算一个线性过程变量、构建并求解具有
变量的线性系统。