【AtCoder】AGC001 Mysterious Light

文章目录

• 题目
• 题目大意
• 思路
• 代码

题目

传送门

题目大意

在一个边长为$N$N的等边三角形中，你按如图所示（距$a$a点$X$X单位长的位置）的方法发射一道激光，激光遇到三角形的边或者之前的激光都会反弹，激光回到原点就结束，问一共走了多远。

思路

在平行四边形$DEFB$DEFB中，激光由$F$F开始反射，能够“完整”地反射到$H$H，然后进入平行四边形$DEHG$DEHG。
在平行四边形$DEHG$DEHG中，激光由$H$H开始反射，能够“完整”地反射到$D$D，发现反射完成。

于是递归求解。
设$f(a,b)$f(a,b)表示在边长为$a,b$a,b的平行四边形中激光一共走过的距离，则答案为（加上最开始两个轨迹的长度）$f(x,N-x)+N$f(x,N−x)+N
如上图，在平行四边形$DEFB$DEFB中，$a=DE,b=EF$a=DE,b=EF，所以激光完整走过的距离是$FH\times2=\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times2$FH×2=⌊ba​⌋×2。
然后激光进入平行四边形$DEHG$DEHG，在平行四边形$DEHG$DEHG中，$a'=EH=b\%a,b'=DE=a$a′=EH=b%a,b′=DE=a。

于是：$f(a,b)=\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times2+f(b\%a,a)$f(a,b)=⌊ba​⌋×2+f(b%a,a)

边界很简单，当$b$b是$a$a的倍数时，说明激光能够回到原点，返回$\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times2-a$⌊ba​⌋×2−a，注意要减掉一个$a$a（观察样例）。

注意开long long。

代码

#include<cstdio>

long long Solve(long long a,long long b){
    if(b%a==0)
        return b/a*a*2-a;
    return b/a*a*2+Solve(b%a,a);
}

int main(){
    long long N,X;
    scanf("%lld%lld",&N,&X);
    printf("%lld",N+Solve(X,N-X));
}