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Introduction

文章目录

Introduction

课程介绍

Look up the nearest public phone
Short Connection
Overlaying maps
计算结合的各个应用领域

1.1 an example:Convex Hulls

Concept of Convex
凸包的计算
Algorithm SLOWCONVEXHULL(P)
Degenerate case: three points on a line
incremental algorithm（增量式算法）
Theorem 1.1

1.2 Degeneracies and Robustness

课程介绍

什么是计算几何？
计算几何是一门算法设计课程
用几何的方法来设计算法解决问题（问题图形化）

Look up the nearest public phone

CG-Introduction
上图所划分中，各个区域到自己区域内的电话亭的距离最近。
是一个voronoi图

Short Connection

CG-Introduction
找出图中两个点之间的最短路径（避开障碍物），可应用于机器人的运动规划问题

Overlaying maps

将两张地图的信息结合起来
Overlaying maps是地理信息系统的基本操作之一。涉及到在地图中定位对象位置，计算交集等。

计算结合的各个应用领域

Robotics
Computer graphics
CAD/CAM
Geographic information systems
Internet
Virtual reality
Virtual surgery

1.1 an example:Convex Hulls

Concept of Convex

CG-Introduction
平面的子集S被称为凸，当且仅当对于任何一对点p，q∈S时，线段pq完全包含在S中。
集合S的凸包CH（S）是包含S的最小的凸集.更确切地说，它是包含S的所有凸集的交集。

凸包的定义
凸包是唯一的凸多边形，满足其顶点是来自P的点并且包含P的所有点。

凸包的计算

如下图所示
CG-Introduction

输入
点集 p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9
输出
点集 p4, p5, p8, p2, p9

CG-Introduction
pq构成有向边，如果所有点都位于pq的右侧，则pq是凸包的边。

Algorithm SLOWCONVEXHULL§

CG-Introduction

Time complexity of SLOWCONVEXHULL
第1-7步的时间复杂度为O（n3）
第8步的时间复杂度为O（n2）
总的时间负责度为O（n3）

Degenerate case: three points on a line

CG-Introduction
pq是凸包的边当且仅当所有的点都位于pq的右侧或者在pq上。

浮点运算可能会引起计算结果的不准确

incremental algorithm（增量式算法）

CG-Introduction
将凸包分为上凸包和下凸包
按照x坐标顺序编号点集p1-pn，
首先将p1和p2 放入上凸包中，接下来逐一考虑p3-pn
如果最新的三个点形成左拐的形式，则删掉第二个点，将第一个点和第三个点连接。以此重复。
计算下凸包的时候，按照p(n-2)-p1的顺序来考虑
如果最新的三个点形成左拐的形式，则删掉第二个点，将第一个点和第三个点连接。以此重复。

Algorithm CONVEXHULL§
CG-Introduction

CG-Introduction
共线点必须被视为左转。

Theorem 1.1

The convex hull of a set of n points in the plane can be computed in O(nlogn) time.

1.2 Degeneracies and Robustness

开发几何算法经历了三个阶段

第一阶段
我们试图忽略一切会混淆我们对我们正在处理的几何概念的理解。

第二阶段
调整在第一阶段设计的算法在退化情况下是正确的。

第三阶段
实际实施。
使用整数，有理数甚至代数数字，具体取决于问题的类型