数论概论读书笔记 38.二项式系数与帕斯卡三角形

二项式系数与帕斯卡三角形

二项式展开的系数我们应该已经很熟悉了

(A+B)n=∑k=0nCknAn−kBk$$(A+B{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{A}^{n-k}{B}^k$$

帕斯卡三角形（杨辉三角）

如果让二项式系数模p$p$简化（其中p$p$为素数），会发生什么？

模p$p$二项式定理 设p$p$为素数

• 二项式系数Ckp$C_p^k$同余于

Ckp≡{0(mod p)若1≤k≤p−11(mod p)若k=0或k=p$$C_p^k\equiv \{\begin{array}{c}0(modp)若1\le k\le p-1\\ 1(modp)若k=0或k=p\end{array}$$

• 对任意数A,B$A,B$，有

(A+B)p≡Ap+Bp(mod p)$$(A+B{)}^p\equiv A^p+B^p(modp)$$