MIT线性代数笔记-第二十讲

Formula for A−1$A^{-1}$

[acbd]−1=1ad−bc[d−c−ba]${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$
A−1=1detACT$A^{-1}=\frac{1}{detA}{C}^T$
C是由cofactors组成的矩阵(代数余子式矩阵)

CRAMER’S RULE

B矩阵为将A的其中1列替换为b，其他列保持不变的矩阵。B的下标指定了替换A的那一列(很巧妙)

Volume

|detA|$|detA|$ = volumne of a box

两种情况很好证明:
1.单位矩阵，detI = 1,体积为1
2.正交矩阵，det(QTQ)=1,|detQ|=1$det(Q^{T}Q)=1,|detQ|=1$,体积为1

有两点需要注意:
1.detA可以求出A的行向量形成的面积或者体积
2.12detA可以算出三角形的面积(也就是一半)$\frac{1}{2}detA可以算出三角形的面积(也就是一半)$

看看例子:
如果三角形不在原点，那么A的构造需要一些技巧，在最后一列全为1(实际上，如果求（x2 - x1,y2 - y1）,(x3 - x1, y3 - y1)对应的det，结果是一样的)