【线代笔记】2.1 Vectors and Linear Equations - 向量与线性方程组

2.1 Vectors and Linear Equations - 向量与线性方程组

线性代数的核心问题是求解线性方程组，例如：

$\begin{aligned} x-2y &=1 \\ 3x+2y &=11 \end{aligned}$x−2y3x+2y​=1=11​

两个方程都各自表示了位于xy平面中的一条线段，若用行的视角来进行表示

行视角上可以看出两条线交于一点（3, 2），这就是该方程组的解

如果用列视角来表示，可将线性方程组表示为向量方程，即

$x\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} -2\\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 11 \end{bmatrix}=b$x[21​]+y[−22​]=[111​]=b

列视角将左侧的两个的向量进行线性结合得到右侧的向量

该方程的系数矩阵是一个$2*2$2∗2的矩阵A
$A= \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3 & 2 \end{bmatrix}$A=[13​−22​]

矩阵的行给了我们行的视角，矩阵的列给了我们列的视角。同样的数字、方程，但不一样的图像表达

我们将以上的方程结合为矩阵的问题$\mathbf{Ax=b}$Ax=b

$\begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}$[13​−22​][xy​]=[111​]

含有三个及以上未知数的方程的理解也是一样的，在高维的方程中，列图像更易于理解

关键问题： 如何理解 $\mathbf{Ax}$Ax

• Multiplication by rows
  $\mathbf{Ax} = \begin{bmatrix} (\mathbf{row1})\cdot \mathbf{x})\\ (\mathbf{row2})\cdot \mathbf{x})\\ (\mathbf{row3})\cdot \mathbf{x}) \end{bmatrix}$Ax=⎣⎡​(row1)⋅x)(row2)⋅x)(row3)⋅x)​⎦⎤​

• Multiplication by columns
  $\mathbf{Ax}=x\ (\mathbf{column1})+y\ (\mathbf{column2})+z\ (\mathbf{column3})$Ax=x (column1)+y (column2)+z (column3)
  Ax as a combination of the columns of A

单位矩阵$\mathbf{I}$I：只在「主对角线」上有数字1，任何矩阵乘上单位矩阵都不会改变
$\mathbf{I}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\quad always \ yields\ the \ multiplication\quad \mathbf{Ix=x}$I=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​always yields the multiplicationIx=x
矩阵的标记：
$A=\left[\begin{array}{ll} {a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} {A(1,1)} & {A(1,2)} \\ {A(2,1)} & {A(2,2)} \end{array}\right]$A=[a11​a21​​a12​a22​​]=[A(1,1)A(2,1)​A(1,2)A(2,2)​]

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总结：本节提供了线性方程组的两种观察角度，以及对应的意义和计算方式；单位矩阵；矩阵的标记方式