线性代数MIT 18.06 记录（十八）行列式及其性质

可逆性的验证

可逆：行列式不为零

行列式的性质

性质一

单位矩阵的行列式为1

性质二

交换行，会使行列式的值 变成其相反数

置换矩阵的行列式不是1 就是-1

更一般地：

性质三

对一个行列式的行乘上一个数t，可以把t拿出来：

相加：

注意：只是每一行的线性

性质四

如果有两行相等，那么行列式的值为0

证明：可以用性质二：交换行，会保持相等，但是行列式值不变，所以行列式值为0

性质五

从某一行减去另一行的某哥倍数，行列式的值保持不变（可以用消元啦）

性质六

如果有一行是全零，那行列式的值就是0

性质七（重要）

如果消元得到上三角矩阵（行列式），那么行列式的值就是对角线乘积

性质八

行列式值为0当且仅当，矩阵是奇异的

如果矩阵是可逆的，那么行列式就不为0

性质九

$detAB = (detA)(detB)$detAB=(detA)(detB)
推论
$detA^{-1}=1/det(A^{-1})$detA−1=1/det(A−1)

矩阵平方，行列式也平方

但是矩阵乘以2，就是行列式成2*n乘上行列式

性质十

转置不改变行列式的值