五边形数定理与拆分数

只做梳理，不做证明 （因为不会证）

五边形数

图片摘自百度百科。

可以发现，$g_i=g_{i-1}+3(i-1)+1$gi​=gi−1​+3(i−1)+1，所以通向就是$g_i=\frac{i(3i-1)}{2}$gi​=2i(3i−1)​

而广义的五边形数，$i$i的取值为$0,1,-1,2,-2,3,-3...$0,1,−1,2,−2,3,−3...，广义五边形数的前几项为：$0,1,2,5,7,12,15,22,26...$0,1,2,5,7,12,15,22,26...

欧拉函数

著名的欧拉函数$\phi(x)$ϕ(x)，表示比$x$x小的与$x$x互质的数字个数，写出它的生成函数，经过一些奥妙重重的推理，有：

$\phi(x)=\prod_{i=1}^n (1-x^i)$ϕ(x)=i=1∏n​(1−xi)

然后经过一些奥妙重重的推理，有：

$\phi(x)=\sum_{-inf}^{inf} (-1)^i x^{\frac{i(3i-1)}{2}}$ϕ(x)=−inf∑inf​(−1)ix2i(3i−1)​

即

$\phi(x)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+...$ϕ(x)=1−x−x2+x5+x7−x12−x15+...

拆分数

拆分数$P(x)$P(x)，就是把$x$x拆分成若干个正整数的方案数。例如对于$3$3，有拆分$3=1+1+1$3=1+1+1，$3=1+2$3=1+2，$3=3$3=3三种，所以$P_3=3$P3​=3

利用1取多少个，2取多少个，3取多少个，这样的思想，得到：

$P(x)=\prod_{i=1}^{inf}(\sum_{j=0}^{inf} x^{ij})=\prod_{i=1}^{inf}\frac{1}{1-x^i}$P(x)=i=1∏inf​(j=0∑inf​xij)=i=1∏inf​1−xi1​

即$P(x)\phi(x)=1$P(x)ϕ(x)=1

暴力展开，除了0次项以外，每一项的系数都要为$0$0，所以对于任意一个$n$n，有：

$P_n-P_{n-1}-P_{n-2}+P_{n-5}+P_{n-7}-P_{n-12}-P_{n-15}+...=0$Pn​−Pn−1​−Pn−2​+Pn−5​+Pn−7​−Pn−12​−Pn−15​+...=0

由于五边形数的大小是平方级别的，所以我们可以在$O(n \sqrt{n})$O(nn​)的时间内算出$1$1到$n$n的五拆分数。