Higher-order clustering in networks摘要

介绍

  网络是复杂系统的基本工具，即使有的网络是稀疏的，依然会有的边趋向于出现在小的聚集结构中，这种聚集结构可以解释为局部演化过程。例如社会网络中聚集结构的出现是源于三角形，其中两个人共有一个朋友，则更可能成为朋友，形成闭三角。聚集系数是度量网络中的三角形数量，定义为三节点中闭合的比例。然而聚集系数是有限制的，只涉及三角形，更多节点的高阶结构也是重要的，四节点就反映词组和蛋白质网络的结构，但是高阶结构的聚集系数是没有的。这里根据测量高阶结构中闭合的比例提出高阶聚集系数。
  首先考虑二节点团，找到与之相连的第三条边和节点，原来的聚集系数就是这种三节点结构中闭合的比例C=6|K3||W|(1)$\begin{array}{}\text{(1)}& C=\frac{6|K_3|}{|W|}\end{array}$
相应可以定义局部聚集系数C(u)=2|K3(u)||W(u)|(2)$\begin{array}{}\text{(2)}& C(u)=\frac{2|K_3(u)|}{|W(u)|}\end{array}$
平均聚集系数C¯¯¯¯=1|V˜|∑u∈V˜C(u)(3)$\begin{array}{}\text{(3)}& \overline{C}=\frac{1}{|\tilde{V}|}\sum _{u\in \tilde{V}}C(u)\end{array}$
类似的，由l$l$节点团扩展到l+1$l+1$节点，则Cl=(l2+l)|Kl+1||Wl|(4)$\begin{array}{}\text{(4)}& C_l=\frac{(l^2+l)|K_{l+1}|}{|W_l|}\end{array}$
局部聚集系数Cl(u)=l|Kl+1(u)||Wl(u)|(5)$\begin{array}{}\text{(5)}& C_l(u)=\frac{l|K_l+1(u)|}{|W_l(u)|}\end{array}$
平均聚集系数C¯¯¯¯l=1|V˜l|∑u∈V˜lCl(u)(6)$\begin{array}{}\text{(6)}& {\overline{C}}_l=\frac{1}{|{\tilde{V}}_l|}\sum _{u\in {\tilde{V}}_l}{C}_l(u)\end{array}$

|Wl(u)|=|Kl(u)|(du−l+1)(7)$$\begin{array}{}\text{(7)}& |W_l(u)|=|K_l(u)|(d_u-l+1)\end{array}$$

其中du$d_u$S 节点u$u$的度，替换公式(5)$(5)$则有

Cl(u)=l|Kl+1(u)|(du−l+1)|Kl(u)|(8)$$\begin{array}{}\text{(8)}& C_l(u)=\frac{l|K_{l+1}(u)|}{(d_u-l+1)|K_l(u)|}\end{array}$$

通过枚举所有l+1$l+1$和l$l$节点的团，能计算局部l th−order$lth-order$的聚集系数，复杂度取决于枚举的时间，使用Chiba和Nishizeki算法，复杂度是O(lal−2m)$O(l{a}^{l-2}m)$，其中m$m$是边数，a$a$是一种边密度。a$a$可能与m−−√$\sqrt{m}$一样大，若l$l$为常数，则是多项式时间，在至少l$l$节点上确定是否有一个团是NPC$NPC$问题。对于全局聚集系数，则有|Wl|=∑u∈V|Wl(u)|$|W_l|=\sum _{u\in V}|W_l(u)|$。
局部聚集系数可以解释成从所有以节点u$u$为中心的wedge中随机挑选的一个是闭合的概率Cl(u)=P[w∈Kl+1(u)](10)$\begin{array}{}\text{(10)}& C_l(u)=\mathbb{P}[w\in K_{l+1}(u)]\end{array}$
定义1-hop邻居图N1(u)$N_1(u)$，节点u$u$周围相邻的节点组成N1(u)$N_1(u)$的节点，原来的这些节点之间的连边组成N1(u)$N_1(u)$的边。于是公式(8)$(8)$为l|Kl[N1(U)]|(du−l+1)|Kl−1[N1(u)]|(11)$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{l|K_l[N_1(U)]|}{(d_u-l+1)|K_{l-1}[N_1(u)]|}\end{array}$
其中Kk[N1(u)]$K_k[N_1(u)]$记为N1(u)$N_1(u)$中有k$k$节点团的个数。如果从N1(u)$N_1(u)$随机选l−1$l-1$节点团，然后再从剩下的点选一个节点v$v$，这l$l$个点组成l$l$节点团的概率就是Cl(u)=P[K∪{v}∈Kl[N1(u)]](12)$\begin{array}{}\text{(12)}& C_l(u)=\mathbb{P}[K\cup \{v\}\in K_l[N_1(u)]]\end{array}$
Cl−1(u)⋅Cl(u)$C_{l-1}(u)\cdot C_l(u)$是l−1$l-1$节点团和两个随机挑选节点组成l+1$l+1$节点团的概率，则∏lj=2Cj(u)=|Kl[N1(u)]|(dul)(13)$\begin{array}{}\text{(13)}& \prod _{j=2}^l{C}_j(u)=\frac{|K_l[N_1(u)]|}{{(}_l^{d_u})}\end{array}$

  对于任意固定l>3$l>3$，0≤Cl(u)≤C2(u)−−−−−√(14)$\begin{array}{}\text{(14)}& 0\le C_l(u)\le \sqrt{C_2(u)}\end{array}$
1.存在有限图G$G$使下界成立，当C2(u)∈[0,l−2l−1]$C_2(u)\in [0,\frac{l-2}{l-1}]$。
2.存在有限图G$G$使上界成立，当C2(u)∈[0,1]$C_2(u)\in [0,1]$。
  0≤Cl(u)$0\le C_l(u)$是显然的，当N1(u)$N_1(u)$如上图2所示时，C2(u)=l−2l−1$C_2(u)=\frac{l-2}{l-1}$，通过删去一些边可使范围在[0,l−2l−1]$[0,\frac{l-2}{l-1}]$。定义δl[N1(u)]=|Kl[N1(u)]|(dul)(15)$\begin{array}{}\text{(15)}& {\delta }_l[N_1(u)]=\frac{|K_l[N_1(u)]|}{{(}_l^{d_u})}\end{array}$记为N1(u)$N_1(u)$的l−clique$l-clique$密度，由文献中的定理则有

δl[N1(u)]≤[δl−1[N1(u)]]l/(l−1)$${\delta }_l[N_1(u)]\le [{\delta }_{l-1}[N_1(u)]{]}^{l/(l-1)}$$

δ[N1(u)]≤[δ2[N1(u)]](l−1)/2$$\delta [N_1(u)]\le [{\delta }_2[N_1(u)]{]}^{(l-1)/2}$$

再由公式(8)$(8)$知

Cl(u)≤[δl−1[N1(u)]]1l−1≤δ2[N1(u)]−−−−−−−−√=C2(u)−−−−−√$$C_l(u)\le [{\delta }_{l-1}[N_1(u)]{]}^{\frac{1}{l-1}}\le \sqrt{{\delta }_2[N_1(u)]}=\sqrt{C_2(u)}$$

若N1(u)$N_1(u)$由c$c$个节点的clique$clique$和b$b$个孤立节点组成，当l=2$l=2$时有

Cl(u)=(c2)(c+b2)=(c−1)c(c+b−1)(c+b)→(cc+b)2$$C_l(u)=\frac{{(}_2^c)}{{(}_2^{c+b})}=\frac{(c-1)c}{(c+b-1)(c+b)}\to (\frac{c}{c+b}{)}^2$$

当3≤l≤c$3\le l\le c$时有

Cl(u)=l(cl)(c+b−l+1)(cl−1)=c−l+1c+b−l+1→cc+b$$C_l(u)=\frac{l{(}_l^c)}{(c+b-l+1){(}_{l-1}^c)}=\frac{c-l+1}{c+b-l+1}\to \frac{c}{c+b}$$

当du→∞$d_u\to \mathrm{\infty }$时有C2(u)∈[0,1]$C_2(u)\in [0,1]$，且Cl(u)→C2(u)−−−−−√$C_l(u)\to \sqrt{C_2(u)}$。
  现在来看高阶聚类系数在随机图模型的情况，其中每条边都有独立的概率p$p$，为了使图中至少有一个l−wedge$l-wedge$，这里假设l$l$比较小，设p$p$和n$n$都比较大，则对于任意ϵ>0$ϵ>0$，clique的节点数量小于(2+ϵ)log n/log(1/p)$(2+ϵ)logn/log(1/p)$。在Gn,p$G_{n,p}$模型中，当且仅当l−clique$l-clique$中有l−1$l-1$条边出现并有另外一节点与之相邻时，则形成l−wedge$l-wedge$，这l−1$l-1$条边的存在概率与pl−1$p^{l-1}$有关。
  令G$G$为随机图模型Gn,p$G_{n,p}$，对于常数l$l$，
(1) EG[Cl]=pl−1$(1){\mathbb{E}}_G[C_l]=p^{l-1}$
(2) EG[Cl(u)|Wl(u)>0]=pl−1$(2){\mathbb{E}}_G[C_l(u)|W_l(u)>0]=p^{l-1}$
(3) EG[C¯¯¯¯l]=pl−1$(3){\mathbb{E}}_G[{\overline{C}}_l]=p^{l-1}$
  E[Cl]=EG[EWl[Cl|Wl]]         =E[EWl[1|Wl|∑w∈WlP[w is closed]]]         =EG[EWl[1|Wl|∑w∈Wlpl−1]]         =EG[pl−1]         =pl−1$\mathbb{E}[C_l]={\mathbb{E}}_G[{\mathbb{E}}_{W_l}[C_l|W_l]]=\mathbb{E}[{\mathbb{E}}_{W_l}[\frac{1}{|W_l|}\sum _{w\in W_l}\mathbb{P}[wisclosed]]]={\mathbb{E}}_G[{\mathbb{E}}_{W_l}[\frac{1}{|W_l|}\sum _{w\in W_l}{p}^{l-1}]]={\mathbb{E}}_G[p^{l-1}]=p^{l-1}$