2、最短路径算法

思想：广度优先算法、贪心算法
时间复杂度：是 $O(n^2)$
2、最短路径算法
算法思想

算法图解

动态规划的思想
时间复杂度为： $O(n^3)$

算法的特点：
弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
算法的思路
通过 $Floyd$ 计算图 $G=(V,E)$ 中各个顶点的最短路径时，需要引入两个矩阵，矩阵 $S$ 中的元素 $a[i][j]$ 表示顶点 $i$ (第 $i$ 个顶点)到顶点 $j$ (第 $j$ 个顶点)的距离。矩阵 $P$ 中的元素 $b[i][j]$ ，表示顶点 $i$ 到顶点 $j$ 经过了 $b[i][j]$ 记录的值所表示的顶点。

假设图 $G$ 中顶点个数为 $N$ ，则需要对矩阵 $D$ 和矩阵 $P$ 进行 $N$ 次更新。

初始时，矩阵 $D$ 中顶点 $a[i][j]$ 的距离为顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的权值；如果 $i$ 和 $j$ 不相邻，则 $a[i][j]=∞$ ，矩阵 $P$ 的值为顶点 $b[i][j]$ 的j的值。
接下来开始，对矩阵 $D$ 进行 $N$ 次更新。第 $1$ 次更新时，如果” $a[i][j]$ 的距离” $>$ “ $a[i][0]+a[0][j]”(a[i][0]+a[0][j]$ 表示” $i$ 与 $j$ 之间经过第 $1$ 个顶点的距离”)，则更新 $a[i][j]$ 为” $a[i][0]+a[0][j]$ ”,更新 $b[i][j]=b[i][0]$ 。
同理，第 $k$ 次更新时，如果” $a[i][j]$ 的距离” $>$ “ $a[i][k-1]+a[k-1][j]$ ”，则更新 $a[i][j]$ 为” $a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]$ 。更新 $N$ 次之后，操作完成！

2、最短路径算法
例子：

含负权边的带权有向图的单源最短路问题。不能处理带负权边的无向图

2、最短路径算法

2、最短路径算法
Bellman-Ford算法的流程如下：

给定图 $G(V,E)$ （其中 $V、E$ 分别为图 $G$ 的顶点集与边集），源点 $s$ ，数组 $Distant[i]$ 记录从源点 $s$ 到顶点 $i$ 的路径长度，初始化数组 $Distant[n]$ 为, $Distant[s]$ 为 $0$ ；
以下操作循环执行至多 $n-1$ 次， $n$ 为顶点数：
对于每一条边 $e(u,v)$ ，如果 $Distant[u]+w(u,v)<Distant[v]$ ，则另 $Distant[v]=Distant[u]+w(u,v)$ 。 $w(u,v)$ 为边 $e(u,v)$ 的权值；
若上述操作没有对 $Distant$ 进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于 $0$ 的环路。对于每一条边 $e(u,v)$ ，如果存在 $Distant[u]+w(u,v)<Distant[v]$ 的边，则图中存在负环路，即是说该图无法求出单源最短路径。否则数组 $Distant[n]$ 中记录的就是源点 $s$ 到各顶点的最短路径长度。

可知， $Bellman-Ford$ 算法寻找单源最短路径的时间复杂度为 $O(V*E)$ .
2、最短路径算法