线性代数--行列式1

文章目录

• 行列式概念
• 1. $n×n$n×n行列式
• 2. 几何意义
• $2×2$2×2：平行四边形**面积**
• $3×3$3×3：六面体**体积**
• 3. 计算-展开定理
• 余子式与代数余子式
• 展开定理
• 4. 七大性质
• 5. 几个重要的行列式

行列式概念

1. $n×n$n×n行列式

$\left| \begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& a_{13} & \dots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23} & \dots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3} & \dots& a_{nn}\\ \end{array} \right|$∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​a13​a23​⋮an3​​……⋮…​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

2. 几何意义

$2×2$2×2：平行四边形面积

$\left| \begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$∣∣∣∣​a11​a21​​a12​a22​​∣∣∣∣​=a11​a22​−a12​a21​
推导过程如下图：

• 向量不平行
  $\left|\begin{array}{ccc}3& 1\\1& 3\end{array}\right|=8$∣∣∣∣​31​13​∣∣∣∣​=8面积为8,两向量线性无关
• 向量平行$\left|\begin{array}{ccc}3& 1\\6& 2\end{array}\right|=0$∣∣∣∣​36​12​∣∣∣∣​=0面积为0，两向量线性相关

$3×3$3×3：六面体体积

$\left| \begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{21}& a_{22}& a_{33}\\ \end{array} \right|=V$∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a21​​a12​a22​a22​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=V如下图：

• 不为0情况 ，三个向量线性无关
• 为0情况
  $\left| \begin{array}{ccc} 1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 5& 1& 7\\ \end{array} \right|=V$∣∣∣∣∣∣​125​241​367​∣∣∣∣∣∣​=V三个向量线性相关

3. 计算-展开定理

余子式与代数余子式

展开定理

• 行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式。
  $|A|=\begin{cases} a_{i1}A_{i1} +a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}+\dots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(i=1,2,\dots,n)\\\\ a_{1j}A_{1j} +a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+\dots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(j=1,2,\dots,n)\end{cases}$∣A∣=⎩⎪⎨⎪⎧​ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+ai3​Ai3​+⋯+ain​Ain​=∑j=1n​aij​Aij​(i=1,2,…,n)a1j​A1j​+a2j​A2j​+a3j​A3j​+⋯+anj​Anj​=∑i=1n​aij​Aij​(j=1,2,…,n)​
• 例题:

• 注意：
  用尽一切办法；
  让某行或某列有尽可能多的零。

4. 七大性质

• 行列互换，其值不变，$|A|=|A^T|$∣A∣=∣AT∣
• 行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零。（几何空间降维）
• 倍乘：行列式中某行（列）元素有公因子$k(k\ne0)$k(k​=0)，则$k$k可提到行列式外面。（几何思想理解）
  $\left|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13} & \dots& a_{1n}\\a_{21}& a_{22}& a_{23} & \dots& a_{2n}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ka_{n1}&k a_{n2}& ka_{n3} & \dots&k a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13} & \dots& a_{1n}\\a_{21}& a_{22}& a_{23} & \dots& a_{2n}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}& a_{n3} & \dots& a_{nn}\end{array}\right|$∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮kan1​​a12​a22​⋮kan2​​a13​a23​⋮kan3​​……⋮…​a1n​a2n​⋮kann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=k∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​a13​a23​⋮an3​​……⋮…​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
• 单行可拆：行列式中某行（列）元素均为两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即
  $\left|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13} & \dots& a_{1n}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\a_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2}& a_{i3} +b_{i3}& \dots& a_{in}+b_{in}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}& a_{n3} & \dots&a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13} & \dots& a_{1n}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\a_{i1}& a_{i2}& a_{i3} & \dots& a_{in}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}& a_{n3} & \dots& a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13} & \dots& a_{1n}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\b_{i1}&b_{i2}& b_{i3}& \dots& b_{in}\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}& a_{n3} & \dots&ka_{nn}\end{array}\right|$∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ai1​+bi1​⋮an1​​a12​⋮ai2​+bi2​⋮an2​​a13​⋮ai3​+bi3​⋮an3​​…⋮…⋮…​a1n​⋮ain​+bin​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​a13​⋮ai3​⋮an3​​…⋮…⋮…​a1n​⋮ain​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮bi1​⋮an1​​a12​⋮bi2​⋮an2​​a13​⋮bi3​⋮an3​​…⋮…⋮…​a1n​⋮bin​⋮kann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​
• 互换：行列式中两行（列）互换，行列式的值反号。（几何思想理解）

• 行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。（几何空间向量平行，线性相关）

• 倍加：行列式中某行（列）乘$k$k加到另外一行（列），行列式值不变。

• 举例：

行和（列）和相等：求和得到和值，提出凑出1。

5. 几个重要的行列式

范德蒙式推导如下图：