上一篇博客写了有序表查找，其中三种方法的基本思想都是二分查找，他们的查找的时间复杂度均为 O(logn)，我们发现有序表的查找效率挺高的了，但是插入效率很低，插入的时间复杂度仍然是O(n)，为了提高插入效率，有人提出了二叉排序树的数据结构。
一、定义
二叉排序树，又称二叉查找树。它或者是一颗空树，或者是一棵具有下列性质的二叉树：
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
- 它的左、右子树也分别是二叉排序树。
上面的定义是一种二叉树中常见的递归的定义方法。这种二叉排序树左子树节点一定比父节点小，右子树节点一定比双亲节点大。如下面就是一颗二叉排序树：
二、二叉排序树的操作
1.查找
二叉排序树的查找其实很好理解，给定一个键值key，从根节点开始，比较当前节点的键值与key的大小，如果大于key，则在该节点的右子树中查找；如果小于key，则在该节点的左子树中查找，不断递归，直到找到或者到达叶子节点（未找到）。比如上面的二叉排序树中，查找51，查找过程为：
二叉排序树查找的时间复杂度是O(logn)。
2.插入
有了查找，插入就非常容易了。对于一个要插入的key，先按照上面的查找算法，直到找到叶子结点。再去判断key与该叶子结点的大小关系，如果key大于叶子结点，则key结点作为叶子结点的右孩子，小于的话则作为叶子结点的左孩子。比如上面的二叉排序树插入50，我们先查找到51所在的节点，然后将50作为51结点的左孩子。插入过程如下：
3.删除
二叉排序树中结点的删除是最复杂的一种操作。需要分三种情况讨论：
(1)删除结点为叶节点
删除节点为叶结点，说明删除结点的左右孩子均为空。这是最简单的一种情况。如下图，我们删除二叉排序树中的37结点。我们只需要找到37的父节点35，将对应的孩子节点置空，然后释放被删除节点即可。
(2)删除结点左孩子或右孩子为空
这是稍微复杂一点的情况。当删除结点node的左孩子为空，右孩子不为空时。我们只需要将node的右孩子节点移动到删除节点的位置，然后断开删除节点的连接关系，再释放被删除结点即可。如上面二叉查找树中的35节点，删除时如下所示：
同理，当删除结点node的右孩子为空，左孩子不为空时。我们只需要将node的左孩子移动到删除节点的位置，然后断开删除节点的连接关系，再释放删除结点即可。我这里就不画图了。
(3)删除结点既有左孩子又有右孩子
这是最复杂的情况。这里我们用先覆盖再删除的方式。 （至于为什么要这样，在讨论部分讨论）。
将结点删除后，我们需要找一个树中原来的结点放置在删除位置，那这个结点应该找哪个呢？根据二叉排序树的性质，这个结点要大于左子树中的所有节点，小于右子树中的所有节点。那这个代替节点要么是删除节点左子树中最右边的节点（对应着删除节点左子树中的最大节点），要么是删除节点右子树中最左边的节点（对应着删除节点右子树中的最小节点） 。先覆盖的意思是，将找到的代替节点中的数据全部赋值给删除节点（删除节点的左右孩子、双亲信息不变，只覆盖所携带的数据）。 再删除的意思是再删除代替节点。代替节点的删除肯定是上面两种情况中的一种，调用上面的删除方法即可。 比如删除上面二叉排序树中的根结点62，我们先找到62左子树中最右边的节点51（或者62右子树中最左边的节点73），然后将51节点的键值数据赋值给62节点，再删除51节点。