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一、时间复杂度介绍
- 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n))，称Ｏ(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
- T(n)不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n²+7n+6与T(n)=3n²+2n+2它们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
二、时间复杂度的计算方法
- 用常数1代替运行时间中的所有加法常数。
- 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 去除最高阶项的系数。
| 示例 | 以T(n)=3n²+7n+6为例 |
|---|---|
| 1）、用常数1代替运行时间中的所有加法常数 | 把T(n)=3n²+7n+6转换成T(n)=3n²+7n+1 |
| 2）、然后修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 | 把T(n)=3n²+7n+1转换成T(n)=3n² |
| 3）、最后去除最高阶项的系数 | 把T(n)=3n²转换成T(n)=n² 即（O(n²)） |
三、常见的时间复杂度
| 阶 | 非正式术语 |
|---|---|
| 常数阶 | O(1) |
| 对数阶 | O(log2n) |
| 线性阶 | O(n) |
| 线性对数阶 | O(nlog2n) |
| 平方阶 | O(n^2) |
| 立方阶 | O(n^3) |
| k次方阶 | O(n^k) |
| 指数阶 | O(2^n) |
四、常见的时间复杂度对应的曲线图
时间复杂度对应的曲线图说明：
1）、常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n)，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
2）、从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法。
五、常数阶 O(1) 的介绍
1）、常数阶 O(1)
- 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
2）、常数阶 O(1) 示例代码如下
3）、常数阶 O(1) 示例代码说明
- 上述代码在执行的时候，它消耗的时间并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
六、对数阶 O(log2n) 的介绍
1）、对数阶 O(log2n) 示例代码如下
2）、对数阶 O(log2n) 示例代码说明
- 在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。
- 因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .
七、线性阶 O(n) 的介绍
1）、线性阶 O(n) 示例代码如下
2）、线性阶 O(n) 示例代码说明
- for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
八、线性对数阶 O(nlogN) 的介绍
1）、线性对数阶 O(nlogN) 示例代码如下
2）、线性对数阶 O(nlogN) 示例代码说明
- 时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)
九、平方阶 O(n²) 的介绍
1）、平方阶 O(n²) 示例代码如下
2）、平方阶 O(n²) 示例代码说明
- 如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)
十、立方阶 O(n³) 、K次方阶 O(n^k) 的介绍
- 参考平方阶 O(n²) 去理解，立方阶 O(n³) 相当于三层n循环；K次方阶 O(n^k)相当于k层n循环