[算法] 递归方程 减而治之 分而治之

本文根据清华大学邓俊辉老师课程《数据结构》总结，课程地址 。

递归 与 递归方程

从递推角度看，为求解数组 A 的求和问题 sum(A,n)，需要
- 递归求解规模为 n-1 的问题 sum(A,n-1)
- 再累加上 A[n-1]

递推方程 看其复杂度，

T(n)T(0)=T(n−1)+O(1)//recurrence=O(1)//base:sum(A,0)(1)(2)$$\begin{array}{}\text{(1)}& T(n)& =T(n-1)+O(1)//recurrence\text{(2)}& T(0)& =O(1)//base:sum(A,0)\end{array}$$

求解过程

复杂度计算

对于数组求和的问题，普通方法是写一个循环来解决，复杂度就是 O(n)$O(n)$ 。

使用递归分析，可分解成很多子问题，每个平凡子问题的复杂度是 O(1)$O(1)$ ，共 n$n$ 个过程。所以综合下来复杂度是 O(n)$O(n)$ 。

减而治之

Decrease-and-conquer，为求解一个大规模的问题，可以将其划分为两个子问题：其一平凡，另一规模缩减。分别求解子问题，得到原问题的解。

分而治之

Divide-and-conquer，为求解一个大规模的问题，可以将其划分为若干（通常两个）子问题，规模大体相当，分别求解子问题。由子问题解，得到原问题的解。

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常见复杂度问题