二叉排序树的实现

一、定义：

  二叉排序树（二叉搜索树、二叉查找树）或者是空树，或者满足以下性质：`

（1）若它的左子树非空，则左子树上所有记录的值均小于根记录的值；

（2）若它的右子树非空，则右子树上所有记录的值均大于根记录的值；

（3）左、右子树本身又各是一颗二叉排序树。

    ——该定义源于《数据结构》李春葆

示例：

                 

二、数据结构：

使用一个链表数据结构来表示，节点定义如下：

[objc] view plain copy

1. typedef struct STnode  
2. {  
3.     int key;//数据信息  
4.     struct STnode *left;//指向左孩子  
5.     struct STnode *right;//指向右孩子  
6.     struct STnode *p;//指向父节点  
7. } STnode;  

三、插入操作：

二叉搜索树插入操作比较简单，将欲插入节点my_node从根节点开始比较，用cur_node表示当前被比较的节点，如果my_node.key > cur_node.key，则比较其右孩子，否则比较其左孩子，以此类推，直到找到叶节点为止，将my_node插入（大于所找到的叶节点则作为右孩子插入，小于则作为左孩子插入）。注意：插入操作一定是在叶节点上进的。

示例：插入关键字为9的节点，先和根节点比较（9>6），故与其右孩子节点比较（9>7），继续与其右孩子节点比较（9>8），由于该节点为叶节点，且9>8，则将节点作为右孩子插入。

代码：

[objc] view plain copy

1. //将节点my_node插入到二叉搜索树tree  
2. STnode* STree_Insert(STnode *tree, STnode *my_node)  
3. {  
4.     STnode *parent_node;//指向my_node的父节点  
5.     STnode *cur_node;//指向当前被比较的节点  
6.       
7.     //树为空  
8.     if(tree==NULL)  
9.         tree=my_node;  
10.           
11.     //树不为空      
12.     else  
13.     {  
14.         parent_node=NULL;  
15.         cur_node=tree;  
16.         while(cur_node!=NULL) //while循环寻找my_node的父节点  
17.         {  
18.             parent_node=cur_node;  
19.             if(my_node->key < cur_node->key)  
20.                 cur_node=cur_node->left;  
21.             else  
22.                 cur_node=cur_node->right;  
23.         }  
24.         my_node->p=parent_node;  
25.         if(my_node->key < parent_node->key)//插入到左子树  
26.             parent_node->left=my_node;  
27.         else                               //插入到右子树    
28.             parent_node->right=my_node;  
29.     }  
30.     return tree;  
31. }  

四、查找节点

思想比较简单，直接上代码：

[objc] view plain copy

1. //在tree里查找节点my_node  
2. STnode *STree_Find(STnode *tree, int my_key)  
3. {  
4.     STnode *cur_node=tree;  
5.       
6.     if(tree==NULL)  
7.         return NULL;  
8.     else  
9.     {  
10.         while(cur_node->key != my_key)  
11.         {  
12.             if(my_key < cur_node->key)  
13.                 cur_node=cur_node->left;  
14.             else  
15.                 cur_node=cur_node->right;  
16.         }  
17.         return cur_node;  
18.     }  
19. }  

五、返回最小关键字节点

根据二叉排序树的性质可知，关键字最小的节点一定是整棵树中最左边的节点，所以只需从根节点开始一直寻找left指

针，直到找到NULL为止。

代码：

[objc] view plain copy

1. //返回最小关键字所在节点  
2. STnode *STree_Min(STnode *tree)  
3. {  
4.     STnode *cur_node=tree;  
5.       
6.     while(cur_node->left)  
7.     {  
8.         cur_node=cur_node->left;  
9.     }  
10.     return cur_node;  
11. }  

六、返回最大关键字所在节点

根据二叉排序树的性质可知，关键字最大的节点一定是整棵树中最右边的节点，所以只需从根节点开始一直寻找right

指针，直到找到NULL为止。

代码：

[objc] view plain copy

1. //返回最大关键字所在节点  
2. STnode *STree_Max(STnode *tree)  
3. {  
4.     STnode *cur_node=tree;  
5.       
6.     while(cur_node->right)  
7.     {  
8.         cur_node=cur_node->right;  
9.     }  
10.     return cur_node;  
11. }  

七、查找节点后继（中序）

中序序列为：左子树、根、右子树，则一个节点若存在中序后继，则该后继必然位于该节点右边。

下图所示二叉排序树的中序为：2、3、4、6、7、13、15、17、18、20

——该图源于《算法导论》

如上所述，节点的后继一定位于节点右边，分两种情况：

1、该节点右孩子不为空：其后继必然是右子树上的最左节点（如节点6，后继为节点9）；

2、该节点右孩子为NULL且该节点为其父节点的左孩子：后继为其父节点（如节点2，后继为节点3）；

3、该节点右孩子为NULL且该节点为其父节点的右孩子：后继必为该节点所在“子树”根节点T的父节点，该根节点T

必为其父节点的左孩子，否则继续往上寻找（如节点13，满足该子树根节点为其父节点左孩子的子树根节点为6，

该节点为其父节点15的左孩子，故该节点后继为15）

代码：

[objc] view plain copy

1. STnode *STree_Successor(STnode *my_node)  
2. {  
3.     STnode *cur_node;  
4.     STnode *successor;  
5.     if(my_node->right)//右孩子不为空  
6.         return STree_Min(my_node->right);  
7.     else              //右孩子为空  
8.     {  
9.         if(my_node==my_node->p->left)//该节点为父节点左孩子  
10.             return my_node->p;  
11.         else//该节点为父节点右孩子  
12.         {  
13.             cur_node=my_node;  
14.             successor=cur_node->p;  
15.             while(successor!=NULL && cur_node!=successor->left)  
16.             {  
17.                 cur_node=cur_node->p;  
18.                 successor=cur_node->p;  
19.             }  
20.             return successor;  
21.         }  
22.     }  
23. }  

八、查找节点前驱（中序）

查找节点前驱的算法和查找节点后继的算法对称，也分为三种情况，分析分发一样，直接上代码。

代码：

[objc] view plain copy

1. STnode *STree_Predecessor(STnode *my_node)  
2. {  
3.     STnode *cur_node;  
4.     STnode *predecessor;  
5.     if(my_node->left)//左孩子不为空  
6.         return STree_Max(my_node->left);  
7.     else              //左孩子为空  
8.     {  
9.         if(my_node==my_node->p->right)//该节点为父节点右孩子  
10.             return my_node->p;  
11.         else//该节点为父节点左孩子  
12.         {  
13.             cur_node=my_node;  
14.             predecessor=cur_node->p;  
15.             while(predecessor!=NULL && cur_node!=predecessor->right)  
16.             {  
17.                 cur_node=cur_node->p;  
18.                 predecessor=cur_node->p;  
19.             }  
20.             return predecessor;  
21.         }  
22.     }  
23. }  

九、删除节点

一、节点删除：如下图所示

（1）删除叶节点（2、4、9、20）：直接删除

（2）删除的节点只有一个孩子（左孩子或右孩子）（7、13）：将这个节点的孩子提升替换该节点即可

如图所示，删除节点7：

（3）删除的节点有两个孩子节点（6、15、18）。需要保证删除该节点后仍然满足二叉排序树的性质，则必须要用该节点的中序后继替换该节点！再对该节点和替换节点的子树进行处理。

根据求节点中序后继的算法，一个节点的中序后继为该节点右子树上的最左节点，该后继节点必不存在左孩子，考虑两种情况，a、该后继节点为其右孩子（如节点6后继节点7为其右孩子）；b、该后继节点不为其右孩子（如节点15，其后继节点17不为其右孩子）

情况a：直接将后继节点替换该节点，如下图删除节点6：

情况b：先用后继节点右孩子替换该后继节点，再用后继节点替换源节点，如下图删除节点15

综上所述，将删除节点my_node的情形总结为以下几种：

1、my_node为叶节点

2、my_node仅有一个孩子

      2.1、my_node有仅左孩子

      2.2、my_node仅有右孩子

3、my_node既有左孩子又有右孩子

     3.1、my_node后继为my_node->rchild（my_node->rchild无左孩子）

     3.2、my_node后继不为my_node->rchild（my_node->rchild有左孩子）

代码：（此处代码以个人理解的通俗方式书写，可能比较冗长，有较大优化空间）

[objc] view plain copy

1. STnode *STree_Delete(STnode *tree, STnode *my_node)  
2. {  
3.     STnode *parent=my_node->p;  
4.     STnode *suc_parent;  
5.     STnode *successor;  
6.       
7.     if(my_node->left==NULL && my_node->right==NULL)//叶节点  
8.     {  
9.         if(parent==NULL)//只有一个节点  
10.             return NULL;  
11.               
12.         if(my_node==parent->left)  
13.             parent->left=NULL;  
14.         else  
15.             parent->right=NULL;  
16.     }  
17.     else if(my_node->left && my_node->right==NULL)//仅有左孩子  
18.     {  
19.         if(parent==NULL)//删除根节点  
20.         {  
21.             return tree->left;  
22.         }  
23.           
24.         if(my_node==parent->left)  
25.         {  
26.             parent->left=my_node->left;  
27.             my_node->left->p=parent;  
28.         }  
29.         else  
30.         {  
31.             parent->right=my_node->left;  
32.             my_node->left->p=parent;  
33.         }  
34.     }  
35.     else if(my_node->left==NULL && my_node->right)//仅有右孩子  
36.     {  
37.         if(parent==NULL)//删除根节点  
38.         {  
39.             return tree->right;  
40.         }  
41.           
42.         if(my_node==parent->left)  
43.         {  
44.             parent->left=my_node->right;  
45.             my_node->right->p=parent;  
46.         }  
47.         else  
48.         {  
49.             parent->right=my_node->right;  
50.             my_node->right->p=parent;  
51.         }  
52.     }  
53.     else//有两个孩子  
54.     {  
55.         successor=STree_Successor(my_node);  
56.       
57.         if(successor == my_node->right)//my_node后继为my_node->rchild  
58.         {  
59.             if(my_node==parent->left)  
60.             {  
61.                 parent->left=successor;  
62.                 successor->p=parent;  
63.                 successor->left=my_node->left;  
64.             }  
65.             else  
66.             {  
67.                 parent->right=successor;  
68.                 successor->p=parent;  
69.                 successor->left=my_node->left;  
70.             }  
71.         }  
72.         else //my_node后继不为my_node->rchild  
73.         {  
74.             suc_parent=successor->p;  
75.             suc_parent->left=successor->right;  
76.             successor->right->p=suc_parent;  
77.               
78.             successor->right=my_node->right;  
79.             successor->left=my_node->left;  
80.             successor->p=my_node->p;            
81.         }  
82.     }  
83.     if(parent==NULL)//删除根节点  
84.         return successor;  
85.      else  
86.         return tree;  
87. }  

二、主函数，测试用例及其头文件等

[objc] view plain copy

1. #include <stdio.h>  
2. #include <stdlib.h>  
3. typedef struct STnode  
4. {  
5.     int key;//数据信息  
6.     struct STnode *left;//指向左孩子  
7.     struct STnode *right;//指向右孩子  
8.     struct STnode *p;//指向父节点  
9. } STnode;  
10. STnode* STree_Insert(STnode *tree, STnode *my_node);  
11. void STree_Inorder(STnode *tree);  
12. STnode *STree_Creat(STnode *tree, int arr[], int n);  
13. STnode *STree_Find(STnode *tree, int my_key);  
14. STnode *STree_Max(STnode *tree);  
15. STnode *STree_Min(STnode *tree);  
16. STnode *STree_Successor(STnode *my_node);  
17. STnode *STree_Predecessor(STnode *my_node);  
18. STnode *STree_Delete(STnode *tree, STnode *my_node);  
19.   
20. int main(void)  
21. {  
22.     int i;  
23.     int arr[]={15,6,20,3,7,17,21,4,13,19,9};  
24.     STnode *tree=NULL;  
25.     STnode *p;  
26.        
27.     tree=STree_Creat(tree, arr, 11);   
28.       
29.     STree_Inorder(tree);  
30.     printf("\n");  
31.       
32.     p=STree_Find(tree, 7);  
33.     printf("find the key: %d\n",p->key);  
34.       
35.     p=STree_Max(tree);  
36.     printf("the max key: %d\n", p->key);  
37.       
38.     p=STree_Min(tree);  
39.     printf("the min key: %d\n",p->key);  
40.       
41.     p=STree_Successor(STree_Find(tree, 7));  
42.     printf("the successor of 7 is %d\n",p->key);  
43.       
44.     p=STree_Predecessor(STree_Find(tree, 7));  
45.     printf("the predessor of 7 is %d\n",p->key);  
46.       
47.     //以下三组删除操作在同一颗树上连续进行；  
48.     p=STree_Delete(tree, STree_Find(tree, 4));  
49.     printf("delete the leaf node 4:");  
50.     STree_Inorder(p);  
51.     printf("\n");  
52.       
53.     p=STree_Delete(tree, STree_Find(tree, 20));  
54.     printf("delete the node 20 which only have left child:");  
55.     STree_Inorder(p);  
56.     printf("\n");  
57.       
58.     p=STree_Delete(tree, STree_Find(tree, 7));  
59.     printf("delete the node 7 which only have right child:");  
60.     STree_Inorder(p);  
61.     printf("\n");  
62.       
63.     //重置二叉排序树，实验删除节点6和15  
64.     tree=NULL;  
65.     tree=STree_Creat(tree, arr, 11);   
66.       
67.     p=STree_Delete(tree, STree_Find(tree, 6));  
68.     printf("delete the node 6 which have two children:");  
69.     STree_Inorder(p);  
70.     printf("\n");  
71.       
72.     p=STree_Delete(tree, STree_Find(tree, 15));  
73.     printf("delete the node 15 which have two children:");  
74.     STree_Inorder(p);  
75.     printf("\n");  
76.       
77.     return 0;  
78. }