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参考文献： Liu W, Wen Y, Yu Z, et al. SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition[J]. arXiv preprint arXiv:1704.08063, 2017.
摘要
之前写过一篇large-marin softmax (L-Softmax) 的介绍，与Softmax Loss 相比，它能够学习区分度更高的特征。基于L-Softmax的改进，这篇paper提出Angular-Softmax（A-Softmax）去学习判别特征，它在超球面流形上强加了一个判别约束，而这个超球面流形本质上与人脸的先验知识位于同一个流形上。A-Softmax在人脸数据库LFW/YTF/MegaFace上的识别结果均优化其它loss函数。与L-Softmax类似，angular margin 同样可以由一个参数 m 来调整。
算法介绍
1. Softmax Loss
在介绍A-Softmax之前，我们先来回顾softmax loss。当定义第 ii 个输入特征 xixi 以及它的标签 yiyi时，softmax loss 记为：
L=1N∑iLi=1N∑i−log(efyi∑jefj)L=1N∑iLi=1N∑i−log(efyi∑jefj)
其中 fjfj 表示最终全连接层的类别输出向量 ff 的第 jj 个元素, NN 为训练样本的个数。由于 ff 是全连接层的**函数 WW 的输出，所以 fyifyi 可以表示为 fyi=WTyixi+byifyi=WyiTxi+byi, 最终的损失函数又可以写为：
Li=−log(e‖Wyi‖‖xi‖cos(θyi,i)+byi∑je‖Wj‖‖xi‖cos(θj,i)+bj)Li=−log(e‖Wyi‖‖xi‖cos(θyi,i)+byi∑je‖Wj‖‖xi‖cos(θj,i)+bj)
其中 θ(j,iθ(j,i0≤θj,i≤π0≤θj,i≤π)是WjWj和xixi之间的夹角。 当Wj=1Wj=1，bj=0bj=0 时，我们可以得到一个修改的softmax loss:
Lmodified=−log(e‖xi‖cos(θyi,i)∑je‖xi‖cos(θj,i))Lmodified=−log(e‖xi‖cos(θyi,i)∑je‖xi‖cos(θj,i))
PS: 与L-Softmax不同的是，作者除了假设bj=0bj=0，还将‖Wj‖‖Wj‖设为1。
2. 引入Angular margin
为了便于说明，作者以二分类作为示例。为了将属于类1特征xx正确分类，修改后的softmax损失函数要求cos(θ1)>cos(θ2)cos(θ1)>cos(θ2)，即θ1<θ2θ1<θ2。本文在此基础上增加一个参数m(m≥2)m(m≥2)，此时要正确分类，需使cos(mθ1)>cos(θ2)cos(mθ1)>cos(θ2)，即θ1<θ2/mθ1<θ2/m，θ2<θ1/mθ2<θ1/m。这样就增强了判决的约束，使得学习出的特征的区分更强。根据这种思想修改的softmax loss函数为：
Lang=−log(e‖xi‖cos(mθyi,i)e‖xi‖cos(mθyi,i)+∑j≠yie‖xi‖cos(θj,i))Lang=−log(e‖xi‖cos(mθyi,i)e‖xi‖cos(mθyi,i)+∑j≠yie‖xi‖cos(θj,i))
其中0≤θyi,i≤πm0≤θyi,i≤πm。与L-Softmax论文中相同，为了保证上式能在CNN中进行前/后向反馈，上式变换为：
Lang=−log(e‖xi‖ψ(θyi,i)e‖xi‖ψ(θyi,i)+∑j≠yie‖xi‖cos(θj,i))Lang=−log(e‖xi‖ψ(θyi,i)e‖xi‖ψ(θyi,i)+∑j≠yie‖xi‖cos(θj,i))
在这里，ψ(θ)ψ(θ) 可以表示为：
ψ(θ)=(−1)kcos(mθ)−2k,ψ(θ)=(−1)kcos(mθ)−2k,
其中θ∈[kπm,(k+1)πm]θ∈[kπm,(k+1)πm]， kk 是一个整数且 k∈[0,m−1]k∈[0,m−1]。
我们可以看出，mm的值越大，angular magin也就越大，那么mm的最小值是多少呢？作者证明了，要使最小的类间距大于最大的类内距，对于二分类问题，需m≥2+3‾√m≥2+3，对于多分类问题，m≥3m≥3。在实验中，mm通常设为4。
下表为不同的Loss函数的决策边界对比：
直观分析
为了分析A-Softmax Loss的有效性，作者将初始的Softmax，修改后的Softmax以及A-Softmax在二分类的结果首先用一个简单的二维空间几何表示：
可以看到，与前两者相比，A-Softmax在类别的角度维度上的分类更加分明，决策边界明显扩大。同时，从图中我们也可以看出，Softmax 在内在的角度分布特性，这也是作者提到基于Euclidean margin和Softmax融合不能取得较好效果的原因。
各个Loss函数在2D、3D超球面流形的表示如下图所示，对于更高维度的超球面，不好描述，但大家可以脑补下。
实验结果
为了证明A-Softmax的有效性， 作者构建了Sphere Face的网络，实验在人脸识别数据上进行。训练集采用CASIA-WebFace，测试集分别在LFW/YTF上进行。
mm的影响
可以看出，随着mm的增大，特征的类别的区分性也就越高。（普遍反应这个图画得非常好，值得学习）
人脸识别测试
在LFW/YTF上，A-Softmax均得了最好好的结果，只比FaceNet略差（采用了更多的训练集）；在MegaFace的数据集上的1：1开集比对和开集1：N搜索，Sphere Face均取得了最佳的结果。
总结
本文通过增加angular margin的约束，在Softmax的基础上提出了A-Softmax，以此来学习区分力更强的人脸特征Sphereface，并且证明了增强参数mm的下界。各个人脸识别测试集的实验证明了该方法的有效性。