第六章传输线

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说到底就是在边界条件下解波动方程
微波也是这样的，当用波导或同轴或微带送信号的时候，如果空间太拥挤（抽象的拥挤），微波也被压变形，本来是TEM的，变成了TEM、TE 、TM 、高次模的四不像…信号色散啊失真啊各种不爽

电磁波的传输

6.1传输线概述

在无界空间传播的电磁波一般是以激励源为中心形成的球面波，其能量将随着电磁波的扩散效应而随距离逐渐衰减，采用传输线就可以实现电磁波信息和能量的远距离传输。
能量是通过传输线周围电磁场变化形成的电磁波传播的，而不是通过自由电荷。
在变化的电磁场的作用下，传输线导体中感生出变化的电荷、电流分布，而变化的电荷、电流分布有产生了变化的电磁场，从而在传输线附近形成一层依附着导体表面电磁波。

传输线类型

传输线的类型是与所传输电磁波的波长或者频率密切相关的。
不同的电磁波工作频率，要求采用不同结构形式的传输线，而这些传输线的不同边界确定了所传输电磁波的场结构分布形态和传播模式。

(1)空管传输线

只能传播横磁波（TM波或E波，沿纵向Ez≠0$E_z\ne 0$,Hz=0$H_z=0$)或者横电波（TE波或H波， 沿纵向Ez=0$E_z=0$,Hz≠0$H_z\ne 0$）。

(2)实心传输线

主要传输横电磁波（TEM波，沿纵向Ez≠0$E_z\ne 0$,Hz=0$H_z=0$）或者准横电磁波（准TEM波，主波为TEM波，由填充介质使Ez≠0$E_z\ne 0$,Hz≠0$H_z\ne 0$）

(3)介质传输线(表面波波导)

介质传输线是利用全面反射基于表面波原理制成的能传输表面波的传输线。

6.2导行电磁波的一般传输特性分析

电磁导波沿波导的传输问题属于电磁场边值问题，即在给定边界条件的情况下解电磁波的波动方程，再由方程解中的物理参量解释导行电磁波的传输特性。

电磁导波的特性包含两个内容：一个是沿电磁波传输线的纵向传输特性；另一个是电磁场在横截面内的横截面内的横向传输特性。

以矩形波导为实例，讨论电磁波在矩形波导内具体的纵向传输特性和横向传输特性。

纵向场量法

任意截面无限长均匀规则金属波导，并作如下假设
（1）波导横截面沿轴向是均匀的，场分量与轴向坐标无关；
（2）波导壁为理想导体，电场强度垂直于导体，磁场强度平行于波导；
（3）波导内填充均匀、线性和各项同性介质；
（4）波导内无自由电荷和传导电流的分布；
（5）波导内只存在时谐场。

已知无源自由空间场量满足如下矢量波动方程

▽2E+k2E=0(6.1a)$$\begin{array}{}\text{(6.1a)}& {▽}^{2}E+k^{2}E=0\end{array}$$

▽2H+k2H=0(6.1b)$$\begin{array}{}\text{(6.1b)}& {▽}^{2}H+k^{2}H=0\end{array}$$

式中k2=ω2εμ$k^2={\omega }^2\epsilon \mu$。

(有一场的场强方向与时间无关，而场强大小仅按一定角频率随时间做正弦或余弦变化，这是一种稳态正弦或余弦电磁场，称为时谐电磁场)

考虑电磁波为沿+z方向传播、叫频率为ω$\omega$的时谐场，则方程（6.1）的解为

E(x,y,z)=E(x,y)e−γz(6.2a)$$\begin{array}{}\text{(6.2a)}& E(x,y,z)=E(x,y)e^{-\gamma z}\end{array}$$

H(x,y,z)=H(x,y)−γz(6.2b)$$\begin{array}{}\text{(6.2b)}& H(x,y,z)=H(x,y{)}^{-\gamma z}\end{array}$$

式（6.2）是中E(x,y)$E(x,y)$表示幅度，其有ax→、ay→、az→$\overrightarrow{a_x}、\overrightarrow{a_y}、\overrightarrow{a_z}$三个分量，指数部分e−γz$e^{-\gamma z}$表示沿+z方向传播的行波因子。

纵向场分量
量波动方程 →$\to$ 标量波动方程 →$\to$边界条件的匹配 →$\to$ 纵向分量 →$\to$横向分量
将方程（6.1）中的场矢量和三维拉普拉斯算符▽2${▽}^2$分解为横向与纵向部分，得

E⃗ =(ax→Ex+ay→Ey)+az→Ez(6.3a)$$\begin{array}{}\text{(6.3a)}& \overrightarrow{E}=(\overrightarrow{a_x}Ex+\overrightarrow{a_y}{E}_y)+\overrightarrow{a_z}{E}_z\end{array}$$

H=(ax→Hx+ay→Hy)+az→Hz(6.3b)$$\begin{array}{}\text{(6.3b)}& H=(\overrightarrow{a_x}Hx+\overrightarrow{a_y}{H}_y)+\overrightarrow{a_z}{H}_z\end{array}$$

▽2=(∂2∂x2+∂2∂y2)+∂2∂z2=▽2xy+∂2∂z2(6.3c)$$\begin{array}{}\text{(6.3c)}& {▽}^2=(\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{y}^2})+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{z}^2}={▽}_{xy}^2+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{z}^2}\end{array}$$

将分解式代入方程（6.1）中，得

▽2tEi+(k2+γ2)Ei=0(6.4a)$$\begin{array}{}\text{(6.4a)}& {▽}_t^2{E}_i+(k^2+{\gamma }^2)E_i=0\end{array}$$

i=x,y,z$$i=x,y,z$$

▽2tHi+(k2+γ2)Hi=0(6.4b)$$\begin{array}{}\text{(6.4b)}& {▽}_t^2{H}_i+(k^2+{\gamma }^2)H_i=0\end{array}$$

我们只需要考虑i=z$i=z$的纵向标量方程

▽2xyEz+(k2+γ2)Ez=0(6.5a)$$\begin{array}{}\text{(6.5a)}& {▽}_{xy}^2{E}_z+(k^2+{\gamma }^2)E_z=0\end{array}$$

▽2xyHz+(k2+γ2)Hz=0(6.5b)$$\begin{array}{}\text{(6.5b)}& {▽}_{xy}^2{H}_z+(k^2+{\gamma }^2)H_z=0\end{array}$$

按式（6.2）可将（6.5）的解写为

Ez(x,y,z)=Ez(x,y)e−γz(6.6a)$$\begin{array}{}\text{(6.6a)}& E_z(x,y,z)=E_z(x,y)e^{-\gamma z}\end{array}$$

Hz(x,y,z)=Hz(x,y)−γz(6.6b)$$\begin{array}{}\text{(6.6b)}& H_z(x,y,z)=H_z(x,y{)}^{-\gamma z}\end{array}$$

场矢量E⃗ $\overrightarrow{E}$和H⃗ $\overrightarrow{H}$的六个分量可以利用麦克斯韦方程的两个旋度式联系起来。已知麦克斯韦方程的旋度式为

▽×E⃗ =−jωμH⃗ (6.7a)$$\begin{array}{}\text{(6.7a)}& ▽\times \overrightarrow{E}=-j\omega \mu \overrightarrow{H}\end{array}$$

▽×H⃗ =jωϵE⃗ (6.7b)$$\begin{array}{}\text{(6.7b)}& ▽\times \overrightarrow{H}=j\omega ϵ\overrightarrow{E}\end{array}$$

旋度方程

▽×F⃗ =∣∣∣∣∣ax→∂∂xFxay→∂∂yFyaz→∂∂zFz∣∣∣∣∣=ax→(∂Fz∂y−∂Fy∂z)+ay→(∂Fx∂z−∂Fz∂x)+az→(∂Fy∂x−∂Fx∂y)(1.48)$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(1.48)}& ▽\times \overrightarrow{F}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{a_x}& \overrightarrow{a_y}& \overrightarrow{a_z}\\ \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right| \\ =\overrightarrow{a_x}(\frac{\mathrm{\partial }{F}_z}{\mathrm{\partial }y}-\frac{\mathrm{\partial }{F}_y}{\mathrm{\partial }z})+\overrightarrow{a_y}(\frac{\mathrm{\partial }{F}_x}{\mathrm{\partial }z}-\frac{\mathrm{\partial }{F}_z}{\mathrm{\partial }x})+\overrightarrow{a_z}(\frac{\mathrm{\partial }{F}_y}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }{F}_x}{\mathrm{\partial }y})\end{array} \end{gathered}$$

将(6.7)在直角坐标系中展开，并考虑到解式（6.6），可得场矢量直角分量的六个标量方程为

∂Ez∂y+γEy=−jωμHx(6.8a)$$\begin{array}{}\text{(6.8a)}& \frac{\mathrm{\partial }{E}_z}{\mathrm{\partial }y}+\gamma E_y=-j\omega \mu H_x\end{array}$$

γEx−∂Ex∂x=−jωμHy(6.8b)$$\begin{array}{}\text{(6.8b)}& \gamma E_x-\frac{\mathrm{\partial }{E}_x}{\mathrm{\partial }x}=-j\omega \mu H_y\end{array}$$

∂Ey∂x−∂Ex∂y=−jωμHz(6.8c)$$\begin{array}{}\text{(6.8c)}& \frac{\mathrm{\partial }{E}_y}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }{E}_x}{\mathrm{\partial }y}=-j\omega \mu H_z\end{array}$$

∂Hz∂y+γHy=jωϵEx(6.8d)$$\begin{array}{}\text{(6.8d)}& \frac{\mathrm{\partial }{H}_z}{\mathrm{\partial }y}+\gamma H_y=j\omega ϵE_x\end{array}$$

−γHx−∂Hz∂x=jωϵEy(6.8e)$$\begin{array}{}\text{(6.8e)}& -\gamma H_x-\frac{\mathrm{\partial }{H}_z}{\mathrm{\partial }x}=j\omega ϵE_y\end{array}$$

∂Hy∂x−∂Hx∂y=jωϵEz(6.8f)$$\begin{array}{}\text{(6.8f)}& \frac{\mathrm{\partial }{H}_y}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }{H}_x}{\mathrm{\partial }y}=j\omega ϵE_z\end{array}$$

纵横关系式

联立求解方程（6.8），径运算整理后，将横向场分量用纵向场分量表示

Ex=−1k2c(γ∂Ex∂x+jωμ∂Hz∂y)(6.9a)$$\begin{array}{}\text{(6.9a)}& E_x=-\frac{1}{k_c^2}(\gamma \frac{\mathrm{\partial }{E}_x}{\mathrm{\partial }x}+j\omega \mu \frac{\mathrm{\partial }{H}_z}{\mathrm{\partial }y})\end{array}$$

Ey=−1k2c(γ∂Ez∂y−jωμ∂Hz∂x)(6.9a)$$\begin{array}{}\text{(6.9a)}& E_y=-\frac{1}{k_c^2}(\gamma \frac{\mathrm{\partial }{E}_z}{\mathrm{\partial }y}-j\omega \mu \frac{\mathrm{\partial }{H}_z}{\mathrm{\partial }x})\end{array}$$

Hx=−1k2c(−jωϵ∂Ez∂y+γ∂Hz∂x)(6.9c)$$\begin{array}{}\text{(6.9c)}& H_x=-\frac{1}{k_c^2}(-j\omega ϵ\frac{\mathrm{\partial }{E}_z}{\mathrm{\partial }y}+\gamma \frac{\mathrm{\partial }{H}_z}{\mathrm{\partial }x})\end{array}$$

Hy=−1k2c(jωϵ∂Ez∂x+γ∂Hz∂y)(6.9c)$$\begin{array}{}\text{(6.9c)}& H_y=-\frac{1}{k_c^2}(j\omega ϵ\frac{\mathrm{\partial }{E}_z}{\mathrm{\partial }x}+\gamma \frac{\mathrm{\partial }{H}_z}{\mathrm{\partial }y})\end{array}$$

式中

k2c=k2+γ2(6.9e)$$\begin{array}{}\text{(6.9e)}& k_c^2=k^2+{\gamma }^2\end{array}$$

6.3 矩形波导中导行电磁波的传输特性

矩形波导（空管波导系统）→$\to$ 内壁宽a窄b →$\to$ 波导壁为理性导体

横截面边界条件  求解 −→−−$\underrightarrow{\text{ 求解 }}$ 波导方程 分离变量法−→−−−−−$\underrightarrow{分离变量法}$求解TE波和TM波的横向波解

1.TM波的横场分布

TM波中Hz=0$H_z=0$,由式(6.9)知波导内的横场分量仅由Ez$E_z$确定。
由（6.5a）波动方程和边界条件得

(∂2∂x+∂2∂y+k2c)Ez(x,y)=0(6.28a)$$\begin{array}{}\text{(6.28a)}& (\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }x}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }y}+k_c^2)E_z(x,y)=0\end{array}$$

\begin{cases}
{                   
\begin{aligned}
E_{z}|_{x=0}&=0,\quad E_{z}|_{x=a}=0\\
E_{z}|_{y=0}&=0,\quad E_{z}|_{y=b}=x0 \tag{6.28b}\\
\end{aligned}
}
\end{cases}$$\text{begin{cases}{ begin{aligned}E\_z|\_{x=0}\&=0,quad E\_z|\_{x=a}=0E\_z|\_{y=0}\&=0,quad E\_z|\_{y=b}=x0 tag{6.28b}end{aligned}}end{cases}}$$

式中，k2c=k2+γ2$k_c^2=k^2+{\gamma }^2$称为截止波数。

按如下步骤求边值条件问题的解：
(1) 求分离变量的通解
设方程的通解为

Ex(x,y)=X(x)Y(y)$$E_x(x,y)=X(x)Y(y)$$

代入方程（6.28a），得

Y∂2X∂x2+X∂2Y∂y2+k2cXY=0(6.29)$$\begin{array}{}\text{(6.29)}& Y\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}X}{\mathrm{\partial }{x}^2}+X\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}Y}{\mathrm{\partial }{y}^2}+k_c^{2}XY=0\end{array}$$

等式两边同除以XY，得

−1X∂2X∂x2=1Y∂2Y∂y2+k2c(6.30)$$\begin{array}{}\text{(6.30)}& -\frac{1}{X}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}X}{\mathrm{\partial }{x}^2}=\frac{1}{Y}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}Y}{\mathrm{\partial }{y}^2}+k_c^2\end{array}$$

式（6.30）左边仅为函数X的函数，右边仅为Y的函数，要是之相等，除非两边的函数分别等于常数k2x和−k2y$k_x^2和-k_y^2$。于是，将（6.30）分离为两个常微分方程

d2Xdx2+k2x=0$$\frac{d^{2}X}{d{x}^2}+k_x^2=0$$

d2Ydy2+k2y=0$$\frac{d^{2}Y}{d{y}^2}+k_y^2=0$$

式中，

k2c=k2+γ2$$k_c^2=k^2+{\gamma }^2$$

利用积分法分别求得方程(6.31b)的通解为

X(x)=Asinkxx+Bcoskxx(6.32a)$$\begin{array}{}\text{(6.32a)}& X(x)=Asin{k}_{x}x+Bcos{k}_{x}x\end{array}$$

Y(y)=Csinkyy+Bcoskyy(6.32b)$$\begin{array}{}\text{(6.32b)}& Y(y)=Csin{k}_{y}y+Bcos{k}_{y}y\end{array}$$

(2)由边界条件定解

X(x)=Asinkxx=Asinmπax,kx=mπa$$X(x)=Asin{k}_{x}x=Asin\frac{m\pi }{a}x,k_x=\frac{m\pi }{a}$$

Y(y)=Asinkyy=Csinnπbx,ky=nπb$$Y(y)=Asin{k}_{y}y=Csin\frac{n\pi }{b}x,k_y=\frac{n\pi }{b}$$

所以矩形波导中T波的纵向场分量的横向分布函数为

Ez(x,y)=E0sinmπaxsinnπb,m,n=1,2,3…$$E_z(x,y)=E_{0}sin\frac{m\pi }{a}xsin\frac{n\pi }{b},m,n=1,2,3\dots$$

式中，E0=AC$E_0=AC$由激励源的强度决定。

(3)由纵横关系式得横向场

Ex(x,y)=−γk2c(mπa)E0cosmπaxsinmπby(6.35a)$$\begin{array}{}\text{(6.35a)}& E_x(x,y)=-\frac{\gamma }{k_c^2}(\frac{m\pi }{a})E_{0}cos\frac{m\pi }{a}xsin\frac{m\pi }{b}y\end{array}$$

Ey(x,y)=−γk2c(nπb)E0sinmπaxcosnπby(6.35b)$$\begin{array}{}\text{(6.35b)}& E_y(x,y)=-\frac{\gamma }{k_c^2}(\frac{n\pi }{b})E_{0}sin\frac{m\pi }{a}xcos\frac{n\pi }{b}y\end{array}$$

Hx(x,y)=jωϵk2c(nπb)E0sinmπaxcosnπby(6.35c)$$\begin{array}{}\text{(6.35c)}& H_x(x,y)=\frac{j\omega ϵ}{k_c^2}(\frac{n\pi }{b})E_{0}sin\frac{m\pi }{a}xcos\frac{n\pi }{b}y\end{array}$$

Hy(x,y)=jωϵk2c(mπa)E0cosmπaxsinnπby(6.35d)$$\begin{array}{}\text{(6.35d)}& H_y(x,y)=\frac{j\omega ϵ}{k_c^2}(\frac{m\pi }{a})E_{0}cos\frac{m\pi }{a}xsin\frac{n\pi }{b}y\end{array}$$

式中，

kc=k2+γ2−−−−−−√=(mπa)2+nπb)2−−−−−−−−−−−−√(6.36)$$\begin{array}{}\text{(6.36)}& k_c=\sqrt{k^2+{\gamma }^2}=\sqrt{(\frac{m\pi }{a}{)}^2+\frac{n\pi }{b}{)}^2}\end{array}$$

显然，m,n=0$m,n=0$,则纵，横场均得无意义的零解。

2.TE波的横场分布

TE波中Ez=0$E_z=0$,a由式（6.25）知波导内的横场分量仅由Hz确定$H_z确定$

(∂2∂x+∂2∂y+k2c)Hz(x,y)=0(6.37a)$$\begin{array}{}\text{(6.37a)}& (\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }x}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }y}+k_c^2)H_z(x,y)=0\end{array}$$

由电场分量的边界条件转化为磁场分量的边界条件，将Ez=0$E_z=0$代入式（6.9）中

\begin{cases}
{                   
\begin{aligned}
\frac{\partial H_{z}}{\partial x}\Bigg |_{x=0}=0,\quad\frac{\partial H_{z}}{\partial x}\Bigg |_{x=a}=0\\
\frac{\partial H_{z}}{\partial y}\Bigg |_{y=0}=0,\quad\frac{\partial H_{z}}{\partial y}\Bigg |_{y=b}=0 \tag{6.37a}\\
\end{aligned}
}
\end{cases}$$\text{begin{cases}{ begin{aligned}frac{partial H\_z}{partial x}Bigg |\_{x=0}=0,quadfrac{partial H\_z}{partial x}Bigg |\_{x=a}=0frac{partial H\_z}{partial y}Bigg |\_{y=0}=0,quadfrac{partial H\_z}{partial y}Bigg |\_{y=b}=0 tag{6.37a}end{aligned}}end{cases}}$$

TE波的纵向场分量的横向分布函数为

Hz(x,y)=E0cosmπaxcosnπb,m,n=0,1,2…$$H_z(x,y)=E_{0}cos\frac{m\pi }{a}xcos\frac{n\pi }{b},m,n=0,1,2\dots$$

由纵横关系式得横向场分量

Ex(x,y)=jωμk2c(nπb)H0cosmπaxsinmπby(6.38a)$$\begin{array}{}\text{(6.38a)}& E_x(x,y)=\frac{j\omega \mu }{k_c^2}(\frac{n\pi }{b})H_{0}cos\frac{m\pi }{a}xsin\frac{m\pi }{b}y\end{array}$$

Ey(x,y)=−jωμk2c(mπa)H0sinmπaxcosnπby(6.38b)$$\begin{array}{}\text{(6.38b)}& E_y(x,y)=-\frac{j\omega \mu }{k_c^2}(\frac{m\pi }{a})H_{0}sin\frac{m\pi }{a}xcos\frac{n\pi }{b}y\end{array}$$

Hx(x,y)=γk2c(mπa)H0sinmπaxcosnπby(6.38c)$$\begin{array}{}\text{(6.38c)}& H_x(x,y)=\frac{\gamma }{k_c^2}(\frac{m\pi }{a})H_{0}sin\frac{m\pi }{a}xcos\frac{n\pi }{b}y\end{array}$$

Hy(x,y)=γk2c(mπa)H0cosmπaxsinnπby(6.38d)$$\begin{array}{}\text{(6.38d)}& H_y(x,y)=\frac{\gamma }{k_c^2}(\frac{m\pi }{a})H_{0}cos\frac{m\pi }{a}xsin\frac{n\pi }{b}y\end{array}$$

显然。可取m或n=0，但若同时取m,n=0，则横场得无意义的零解。

然而这里求了贼鸡儿多，就求了个幅值Ez(x,y)$E_z(x,y)$

TM波和TE波横场分布的物理特性

x向的行波形。用行波因子e−j(1xsinθi−ωt)$e^{-j{(}_{1}xsin{\theta }_i-\omega t)}$表示；
波向着x传播，相位也跟着改变，行波的性质

z向的驻波性。用驻波因子sincos(k1zcosθi)${}_{cos}^{sin}(k_{1}zcos{\theta }_i)$表示；
波向着z传播，幅值也跟着改变，驻波的性质。

Ez(x,y)=E0sinmπaxsinnπb,m,n=1,2,3…$$E_z(x,y)=E_{0}sin\frac{m\pi }{a}xsin\frac{n\pi }{b},m,n=1,2,3\dots$$

Hz(x,y)=E0cosmπaxcosnπb,m,n=0,1,2…$$H_z(x,y)=E_{0}cos\frac{m\pi }{a}xcos\frac{n\pi }{b},m,n=0,1,2\dots$$

将上面两式乘以传播因子，若以顺势形式表示，则可写为如下函数变化形式

sincos(mπax)sincos(nπby)e−(γz−jωt)$${}_{cos}^{sin}(\frac{m\pi }{a}x{)}_{cos}^{sin}(\frac{n\pi }{b}y)e^{-(\gamma z-j\omega t)}$$

由kc=k2+γ2−−−−−−√=(mπa)2+nπb)2−−−−−−−−−−−√$k_c=\sqrt{k^2+{\gamma }^2}=\sqrt{(\frac{m\pi }{a}{)}^2+\frac{n\pi }{b}{)}^2}$可以得到TM和TE波的截止波数λc,mn${\lambda }_{c,mn}$和截止频率fc,mn$f_{c,mn}$,并由矩形波导的横截面积a,b,摸的阶数m,n 和介质的电磁参量ϵ,μ$ϵ,\mu$确定。

TM波和TE波横场分布的物理特性概况为如下几点：
(1)**沿x，y向的驻波性和沿z向的行波性。三角函数的变化代表驻波变化，虚指数代表行波变化。
(2)平面波的非均匀性。
(3)场的多模性。
(4)模的简并性。
(5)模式的阶次性。