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1. 矩阵是什么？
矩阵被认为是线性代数中最基础的内容， 也是研究线性代数其他内容的工具。
由m*n个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为m*n 的矩阵,简称矩阵:
横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列.称为矩阵的第i行j列的元素.元素为实数的矩阵我们称为实矩阵，我们目前只讨论实矩阵。
矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，如：
简记为.
行矩阵：
列矩阵：
矩阵是翻译过来的词，英文是Matrix，这个翻译很 好。既形象又大气。阵这个词很容易让我们想到那种气势庞大的阵列。 让你感觉到那种重要和不可替代。
2. 几种特殊的矩阵
- 方阵
当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时， 称矩阵为方阵。
主对角线从左上到右下，元素的下标相同，即i=j. 注意只有方阵才有主对角线。
斜对角线从左下到右上，只有方阵才有斜对角线。
- 零矩阵
- 对角矩阵
对角矩阵首先得有对角线，所以必须是方阵。
其它没写出的元素都是零。
- 单位阵
若对角线上的元素都是1，就得到又一个特殊的矩阵:
这个矩阵称作单位矩阵，记作或
。
- 数量矩阵
若对角线上的元素是相同的数k，得到的特殊矩阵为：
这个矩阵称作数量矩阵。
- 三角阵
上三角矩阵：
下三角矩阵：
- 梯形阵
设为非零矩阵，若非零行(即至少有一个非零元素的行)全在零行的上面， A中各非零行中第一个(最后一个)非零元素前(后)面零元素的个数随行数增大而增多(减少)，则称为上(下)梯形矩阵。简称为上(下)梯形阵。
3. 矩阵的运算
线性运算：
- 相等
两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即：
- 加、减法
矩阵加减必须是同型的，对应位置元素相加减：
运算规律：
负矩阵：
的负矩阵为
,记作-A，即
- 数乘
与数的乘法，简称为数乘。记作：
数k乘矩阵中的每一个元素。
运算规律：
- 矩阵乘法
(A的列数必须等于B的行数)：
注意：
1）,矩阵乘法不满足交换率.
2）,不满足消去率;
3）有非零的零因子。
运算规律：
- 练习
(对角阵相乘等价于直接对应位置元素相乘)。
其他运算：
- 方阵的正整数幂
注意成立的条件是
.
- 矩阵的转置
行列互换。
运算规律：
- 对称阵与反对称阵（方阵）
对称阵：
下面的几个矩阵都是对称阵：
反对称阵：
且
下面这个矩阵是反对称阵：
任一方阵都可以分解成 对称阵与反对称阵的和：
- 练习
数学归纳法：
4. 方阵的行列式
由方阵A所构成的行列式称为方阵的行列式,记为或
若方阵的行列式不为零,则称方阵为 非奇异方阵,否则称为奇异方阵.
由方阵A所确定的行列式作为一种运算除具有一般的行列式的性质外，还有如下性质:
设A, B均为n阶方阵，k为常数，则有:
- 练习
奇数阶反对称阵的行列式为零：
5. 伴随矩阵
写伴随矩阵时，注意代数余子式的顺序。
主对角线元素互换，斜对角线元素取相反数。
6. 矩阵初等变换
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等变换:
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。
初等变换可以简化矩阵，如将矩阵化为梯形阵。
- 矩阵等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩 阵A与B等价，记作.
等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即
7. 矩阵的秩
- k阶子式
在中任取k行k列，位于这些行列相交处的
个元素，按原次序组成的 k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.一般地，m*n矩阵A的k阶子式有
个。
- 矩阵的秩
矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高阶 数称为矩阵 A 的秩。记作.
显然:r(O)=0;只要A不是零矩阵, 就有 r(A)>0.并且:
任意一个矩阵都可经初等变换化为梯形阵.梯形阵的秩等于其非零行的行数.矩阵经初等变换后其秩不变.
原矩阵的秩就等于经初等变换后得到的梯形矩阵的秩，即梯形矩阵非零行的行数。
用初等变换求矩阵的秩：
- 练习
将秩与行列式结合：
矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。
显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价;反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。
矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).
- 满秩矩阵
若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵; 否则称为降秩矩阵。
设方阵A为满秩阵,则A的标准形为同阶单位阵 E .即：
若方阵A的行列式 ，则称A为非奇异矩阵,A是满秩的，即
; 若
，则称为A为奇异矩阵,A是降秩的，即
。
8. 初等矩阵
对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
三种初等行变换得到的初等矩阵分别为:
1）互换第i、j行：
2）第i行乘以k：
3）第j行乘以k加到第i行：
对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。
- 初等矩阵的性质
1）初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.
2）初等矩阵都是非奇异的.
- 初等矩阵和初等变换的关系
初等行变换相当于左乘初等矩阵; 初等列变换相当于右乘初等矩阵.
- 满秩矩阵
若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵; 否则称为降秩矩阵。
设A为满秩阵,则A的标准形为同阶单位阵 E .即
以下命题等价:
矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及n阶满秩阵P、Q，使得,
由此还可得到:若P、Q为满秩阵，则:
- 练习