9矩阵微分方程

1矩阵的微分和积分

1.1微分定义

对矩阵中每一个元素求微分

1.2积分定义

对矩阵中每一个元素求积分

2一阶线性齐次常系数常微分方程组

对于诸如$\frac{dX}{dt}=AX(t),$dtdX​=AX(t),我们有解为$e^{tA}c=e^{tA}X(0)$etAc=etAX(0)
可以求导验证结果的正确性。
例：

3一阶非齐次常系数常微分方程组

即形如$\frac{dX}{dt}=AX(t)+b,$dtdX​=AX(t)+b,的，我们假设其解为$e^{tA}c(t)$etAc(t)
$\frac{de^{tA}c(t)}{dt}=Ae^{tA}c(t)+e^{tA}\frac{c(t)}{dt}=AX(t)+b(t)$dtdetAc(t)​=AetAc(t)+etAdtc(t)​=AX(t)+b(t)
加上初始条件，可以得到
$x(t)=e^{tA}[x(0)+\int_0^te^{-sA}b(s)ds]$x(t)=etA[x(0)+∫0t​e−sAb(s)ds]