NOIP/CSP初赛主定理（master定理）学习笔记:递归复杂度求解

$\mathrm{master}$ 定理求解范围

对于一些递归性时间复杂度，由于难以计算，我们需要使用 $\mathrm{Master}$ 定理来进行求解。

例如，我们熟悉的分治算法，其递归式为： $T(n)=2T(\frac{n}{2})+n$ 时间复杂度就是 $O(nlog_2n)$ .因此,我们普遍的将时间复杂度问题形式化为： $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$

对于对于此类我们，我们便可以使用 $\mathrm{master}$ 定理来进行求解了。

$\mathrm{master}$ 定理的内容

对于递归的时间复杂度问题 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$

我们令 $c=log_ba$ ,再和 $f(n)$ 的时间复杂度进行比较，可以分为三类情况。

我们可以令 $f(n)=O(n^k)$ 或者 $O(n^klog)$ 之类的。那么我们将 $c$ 和这里的 $k$ 进行比较。~~这样就可十分方便的去分类，还比较好记。~~

1.当 $c>k$ 时,且 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n^k)$ ,我们有： $T(n)=O(n ^c)$
2.当 $c=k$ 时，且 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n^klog^{p}n)$ ,我们有： $T(n)=O(n^clog^{p+1}n)$
3.当 $c<k$ 时，且 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$ ,.我们有： $T(n)=O(n^k)$

显然在初赛上，我们不需要知道如何证明时间复杂度，只需要能够计算出对应的时间复杂度，选对对应的选择题即可。所以你可以这么记忆：如果 $c$ 和 $k$ 不相等，时间复杂度为 $O(n^{\max(c,k)})$ ,否则时间复杂度为 $O(n^clog^pn)$ 过 $O(n^klog^{p+1}n)$ .

注意对于情况3：若 $n^k$ 还跟了一些东西，这个东西也要算进时间复杂度.

$\mathrm{master}$ 定理应用

1.【NOIP2016】计算 $T(n)=2T(\frac{n}{4})+\sqrt n$ 的时间复杂度。

我们有 $c=log_ba=\frac{1}{2},k=\frac{1}{2}$ ,此时对应情况2， $p=0$ .所以有：
$T(n)=O(n^{\frac{n}{2}}log^1n)=O(logn\sqrt n)$

2.计算 $T(n)=8T(\frac{n}{2})+n^2$ 的时间复杂度.

有 $c=log_28=3,k=2.$ 对应情况1，故时间复杂度为 $T(n)=O(n^3)$ .

3.计算 $T(n)=2T(\frac{T}{2})+n.$ 的时间复杂度。

有 $c=log_22=1,k=1$ ,对应情况2，故时间复杂度为 $T(n)=O(n^1log^{0+1}n)=O(nlogn)$

4.计算 $T(n)=2T(\frac{n}{2})+n^2$ 的时间复杂度。

有 $c=log_22=1,k=2$ ,对应情况3，故时间复杂度为: $T(n)=O(n^2)$

5.计算 $T(n)=3T(\frac{n}{4})+nlogn$ 的时间复杂度.

有 $0<c=log_43<1,k=1$ 对应情况3的不重， $n$ 后面跟着的也要算进时间复杂度。所以时间复杂度为： $T(n)=O(nlogn)$

一些其它的时间复杂度计算问题

1.【NOIP2015】计算 $T(n)=T(n-1)+n$ 的时间复杂度。

每一次都要计算 $n$ ，总共递归 $n$ 次，故时间复杂度为 $O(n^2).$

2.【NOIP2013】
NOIP/CSP初赛主定理（master定理）学习笔记:递归复杂度求解
首先第 $n$ 项的时间复杂度为总共递归的次数。此时，设 $g(i)$ 表示第 $i$ 层递归的次数。

则有： $g(i)=g(i-1)+g(i-2)$ ，同样对应了斐波那契数列。故有时间复杂度： $T(n)=g(n)=f(n)=O(f(n))$

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一些其它的时间复杂度计算问题

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$\mathrm{master}$ 定理的内容

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