理解四元组 Understanding Quaternions

翻译自 https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/

四元组

Transformation matrices

在三维空间中，任何一个坐标系可以有一个4*4的转换矩阵表示，其中左上角3*3的矩阵表示旋转矩阵，第四列前三个表示x,y,z坐标。
类似的，任何一个变换也可以表示为这样一个变换矩阵。

复数

不做过多解释
i2=j2=k2=ijk=−1$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$
z=a+bia,b∈R,i2=−1$z=a+bia,b\in R,i^2=-1$
基本上来说，复数的加减乘除符合常见实数里的做法，可以将i$i$作为一个变量看，将i2$i^2$作为-1

复平面的旋转

q=cosθ+isinθ$q=cos\theta +isin\theta$

四元组

四元组最普通的表示形式为：
q=s+xi+yj+zk s,x,y,z∈R$q=s+xi+yj+zks,x,y,z\in R$

也可以写为有序组

单位四元组

对于一个任意的向量，我们可以用它的长度，它的方向来表示它

同样，我们可以这样表示一个纯四元组

我们也可以将一个零标量，单位向量表示为单位四元组

Binary Form of a Quaternion

现在，我们可以使用类似复数的形式表示四元组，一个标量加上一个向量，其中向量是一个单位向量与长度的积。

一些运算

旋转

类似与向量的旋转，我们也可以用一个四元组表示四元组的旋转
q=[cosθ,sinθv]$q=\left[cos\theta ,sin\theta \mathbf{\text{v}}\right]$

四元组插值

SLERP

SQAD