8. 事件独立性

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事件独立性

例 1： 有 10 件产品，其中 8 件为正品，2 件次品。从中取 2 次,每次取 1 件。（1）采用不放回抽样,（2）采用放回抽样。

解： 设 $A_i=\{第 i 次取到正品\}, i=1,2. 比较 P(A_2|A_1) 与 P(A_2).$Ai​={第i次取到正品},i=1,2.比较P(A2​∣A1​)与P(A2​).

不放回抽样时, $P(A_2|A_1) = \frac{7}{9} \neq P(A_2) = \frac{8}{10}$P(A2​∣A1​)=97​​=P(A2​)=108​

放回抽样时， $P(A_2|A_1) = \frac{8}{10} = P(A_2)$P(A2​∣A1​)=108​=P(A2​)

因此，放回抽样时，$A_1$A1​ 的发生对 $A_2$A2​ 的发生概率不影响。

$P(A_2|A_1) = P(A_2) \implies P(A_1A_2) = P(A_1)P(A_2)$P(A2​∣A1​)=P(A2​)⟹P(A1​A2​)=P(A1​)P(A2​).

还可以得到 $P(A_1|A_2)=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_2)} = P(A_1)$P(A1​∣A2​)=P(A2​)P(A1​)P(A2​)​=P(A1​).

即 $A_2$A2​ 的发生对 $A_1$A1​ 的发生概率也不影响。

这就是事件 $A_1$A1​ 与 $A_2$A2​ 相互独立。

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定义： 设 $A，B$A，B 是两随机事件，如果 $P(AB) = P(A)P(B)$P(AB)=P(A)P(B)， 则称 $A，B$A，B 相互独立。

之所以用上述方式定义，一是因为 $A$A 与 $B$B 的对称性，二是不需要条件概率存在的条件，即事件的概率可以为 0。

若 $P(A) > 0， P(B) > 0$P(A)>0，P(B)>0,

则 $P(AB) = P(A)P(B)$P(AB)=P(A)P(B)

等价于 $P(B|A) = P(B)$P(B∣A)=P(B)

也等价于 $P(A|B) = P(A)$P(A∣B)=P(A)

直观来看，若 $A$A 与 $B$B 相互独立，则不论 $A$A 是否发生，都不能提供 $B$B 是否发生的信息，反之也是。下面的性质也能更直观的说明：

$A,B 相互独立 \iff \overline{A},B 相互独立 \iff A,\overline{B}相互独立 \iff \overline{A}\overline{B} 相互独立.$A,B相互独立⟺A,B相互独立⟺A,B相互独立⟺AB相互独立.

证明：

$\because 当 P(AB) = P(A)P(B) 时，$∵当P(AB)=P(A)P(B)时，

$P(A\overline{B}) = P(A-AB)$P(AB)=P(A−AB)

$=P(A)-P(AB) = P(A)-P(A)P(B) = P(A)[1-P(B)] = P(A)P(\overline{B})$=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(B)

上面的证明，仅证明当 $P(AB) = P(A)P(B)$P(AB)=P(A)P(B) 时，$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})$P(AB)=P(A)P(B)，其他的证明类似，这里省略。

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定义： 设 $A_1,A_2,...,A_n$A1​,A2​,...,An​ 为 $n$n 个随机事件，

若对 $2\leq k\leq n$2≤k≤n 均有：

$P(A_{i_1}A_{i_2}...A_{i_k}) = \prod_{j=1}^{k}P(A_{i_j})$P(Ai1​​Ai2​​...Aik​​)=j=1∏k​P(Aij​​)

则称 $A_1,A_2,...,A_n$A1​,A2​,...,An​ 相互独立。

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例 2： 有一个正四面体,现在给一面漆上红色,一面漆上黄色,一面漆上蓝色,还有一面漆上红黄蓝三色．现在任取一面。令 A = “这面含红色”，B=“这面含黄色”，C=“这面含蓝色”。问：A,B,C 是否两两独立？是否相互独立？

解: 对这四面分别标号为 1,2,3,4.

则 $S = \{1,2,3,4\}, A = \{1, 4\}, B=\{2,4\}, C=\{3,4\}$S={1,2,3,4},A={1,4},B={2,4},C={3,4}

$AB=AC=BC=ABC=\{4\}$AB=AC=BC=ABC={4}

$P(A)=P(B)=P(C)=1/2$P(A)=P(B)=P(C)=1/2

$P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=1/4$P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=1/4

$\implies P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)\quad \quad$⟹P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C) 两两独立

$P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)\quad \quad$P(ABC)​=P(A)P(B)P(C) 不是相互独立

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例 3： $P(A)=0.5,P(B)=0.4$P(A)=0.5,P(B)=0.4，求下列情况下，$P(A\bigcup B)$P(A⋃B).

$(1) A 与 B 独立，(2) A 与 B 不相容，$(1)A与B独立，(2)A与B不相容，

$(3) A\supset B，\quad\quad (4)P(AB)=0.3.$(3)A⊃B，(4)P(AB)=0.3.

解：

(1) $P(A\bigcup B)=1-P(\overline{A}~\overline{B})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=0.7,$P(A⋃B)=1−P(A B)=1−P(A)P(B)=0.7,

(2) $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)=0.9,$P(A⋃B)=P(A)+P(B)=0.9,

(3) $P(A\bigcup B)=P(A)=0.5,$P(A⋃B)=P(A)=0.5,

(4) $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6.$P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.6.

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例4：有 5 个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为 $p$p，求系统正常运行的概率.

解： 设 $A_i=\{第 i 个元件允许正常\}，i=1,2,3,4,5$Ai​={第i个元件允许正常}，i=1,2,3,4,5

$A=\{系统允许正常\}$A={系统允许正常}

$P(A)=P(A_3)·P(A|A_3)+P(\overline{A_3})·P(A|\overline{A_3})$P(A)=P(A3​)⋅P(A∣A3​)+P(A3​​)⋅P(A∣A3​​)

$p_1\hat{=}P(A|A_3)$p1​=^P(A∣A3​)

$=P((A_1\bigcup A_4)(A_2\bigcup A_5))$=P((A1​⋃A4​)(A2​⋃A5​))

$=[P(A_1\bigcup A-4)]^{2} = (2p-p^{2})^{2}$=[P(A1​⋃A−4)]2=(2p−p2)2

$p_2\hat{=}P(A|\overline{A_3})$p2​=^P(A∣A3​​)

$=P(A_1A_2\bigcup A_4A_5)$=P(A1​A2​⋃A4​A5​)

$=2p^{2}-p^{4}$=2p2−p4

$P(A)=P(A_3)·P(A|A_3)+P(\overline{A_3})·P(A|\overline{A_3})$P(A)=P(A3​)⋅P(A∣A3​)+P(A3​​)⋅P(A∣A3​​)

$=p(2p-p^{2})^{2}+(1-p)(2p^{2}-p^{4})$=p(2p−p2)2+(1−p)(2p2−p4)

$=2p^{2}+2p^{3}-5p^{4}+2p^{5}$=2p2+2p3−5p4+2p5

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关于小概率事件

“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。

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例 5： 某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故.设他每次操作发生事故的概率为 $p=0.0001$p=0.0001，他独立重复进行了 n 次操作. 求

(1) n次都不发生事故的概率；

(2) 至少有一次发生事故的概率.

解： 设 $A_i=\{第i次不发生事故\}，i=1,2,...,n.$Ai​={第i次不发生事故}，i=1,2,...,n.

$B=\{n次都不发生事故\}.$B={n次都不发生事故}.

$C=\{至少发生一次事故\}.$C={至少发生一次事故}.

$则 A_1,...,A_n 相互独立，P(A_i)=1-p=0.9999$则A1​,...,An​相互独立，P(Ai​)=1−p=0.9999

$P(B)=P(A_1...A_n)=(1-p)^{n}$P(B)=P(A1​...An​)=(1−p)n

$P(C)=1-P(B)=1-(1-p)^{n}$P(C)=1−P(B)=1−(1−p)n

注意到 $\lim_{n \to \infty}P(C)=1-\lim_{n \to \infty}(1-p)^{n}=1$n→∞lim​P(C)=1−n→∞lim​(1−p)n=1

上式的意义为："小概率事件"在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。决不能轻视小概率事件。

$n=7000时，P(C)=1-(1-0.0001)^{7000}=0.5034 > 0.5.$n=7000时，P(C)=1−(1−0.0001)7000=0.5034>0.5.

$n=30000时，P(C)=1-(1-0.0001)^{30000}=0.9502$n=30000时，P(C)=1−(1−0.0001)30000=0.9502

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