论文笔记——Deformation Transfer for Triangle Meshes（2004-SIGGRAPH）

目录

• 一、核心思想
• 二、算法分析
• 1、Deformation Transfer （形变迁移）

一、核心思想

  首先，文章题目名为《Deformation Transfer for Triangle Meshes》，即三角网格的形变迁移。这一理论的核心观点可以参考下图，已知条件需要包括三个信息：
  1、源始网格 $S$S，也就是下图中第一行的第一匹马；
  2、与 $S$S 对应的发生形变的网格 $S'$S′，也就是第一行后面的各种各样的马；
  3、目标网格 $T$T，也就是我们想要让他像 $S$S 形变方式一样的目标，即图中第二行的第一只骆驼。
  通过上述三点已知条件，从而得到生成的形变网格 $T'$T′， 也就是第二行后面各种各样的网格。需要注意的是，每一对 $S$S 和 $T$T， 或者 $S'$S′ 和 $T'$T′，也就是图中的每一列，在形态上是一致的。

  根据形变迁移的理论， $S$S 和 $S'$S′ 之间一定存在着确定的形变关系，那么 $T$T 和 $T'$T′ 之间也一定存在着相类似的形变关系。
  作者在摘要中提到，他们提出的是一种通用的方法，$S$S 和 $T$T 之间不需要拥有相同数量的顶点、三角形或者相同的点与点之间的连接方式。

二、算法分析

1、Deformation Transfer （形变迁移）

  形变迁移的目的是将源变形所表现出的形状变化传递到目标上。
  我们知道三点成面，这也是三角网格的由来。在二维平面中，一个三角形如何发生变化都不会离开这个平面维度，但是空间中，一个三角形发生形变，就有很大的可能离开它原始的平面。因此，作者引入了一个三角形面外的一个点作为辅助，来探寻该三角形的空间变化。
  首先令 $v_i$vi​ 和 $\tilde{v}_i$v~i​，$i \in{1,2,3}$i∈1,2,3，分别表示三角形形变前后的三个顶点，那么第四个顶点可以通过以下公式（原文公式(1)）得到：
$v_4=v_1+(v_2-v_1)\times(v_3-v_1)/\sqrt{|(v_2-v_1)\times(v_3-v_1)|}$v4​=v1​+(v2​−v1​)×(v3​−v1​)/∣(v2​−v1​)×(v3​−v1​)∣​
同理 $\tilde{v}_i$v~i​ 也有相应的计算方式。$(v_2-v_1)\times(v_3-v_1)/\sqrt{|(v_2-v_1)\times(v_3-v_1)|}$(v2​−v1​)×(v3​−v1​)/∣(v2​−v1​)×(v3​−v1​)∣​是计算垂直于三角形所在平面的单位向量，而整个式子就是将该单位向量平移到三角形上。这里之所以选择加 $v_1$v1​，和后面的简化运算有关。当然，这里可以用 $v_2$v2​ 或者 $v_3$v3​，那么本式，和后面的公式都要对应的替换。
补充知识： 坐标叉乘运算
$a\times b=(l,m,n)\times (o,p,q)=(mq-np,no-lq,lp-mo)$a×b=(l,m,n)×(o,p,q)=(mq−np,no−lq,lp−mo)
  假设，四个点的坐标依次为 $v_1(x_1,y_1,z_1)$v1​(x1​,y1​,z1​)， $v_2(x_2,y_2,z_2)$v2​(x2​,y2​,z2​)，$v_3(x_3,y_3,z_3)$v3​(x3​,y3​,z3​)， $v_4(x_4,y_4,z_4)$v4​(x4​,y4​,z4​)，那么 $v_i$vi​ 和 $\tilde{v}_i$v~i​ 都是3 $\times$× 4的矩阵。两者之间可以通过一个3 $\times$× 3的仿射矩阵 $Q$Q 和偏移量 $d$d 联系在一起，如下（原文公式(2)）：
$Qv_i+d=\tilde{v}_i, \quad i \in 1 ... 4$Qvi​+d=v~i​,i∈1...4
  原文说到，为了消去 $d$d，就对每一项减去 $v_1$v1​，就可以得到 $QV=\tilde{V}$QV=V~，其中（原文公式(3)）：

  第一次看到这里的时候，比较懒，直接默认这是成立的，而这一次为了这篇博客，我就稍微的思考了一下：
已知：
  $\tilde{v}_i=Qv_i+d$v~i​=Qvi​+d
  $d=\tilde{v}_1-Qv_1$d=v~1​−Qv1​
把 $d$d 代入第一个式子，得：
  $\tilde{v}_i=Qv_i+\tilde{v}_1-Qv_1$v~i​=Qvi​+v~1​−Qv1​
左右调整一下之后，得：
  $\tilde{v}_i-\tilde{v}_1=Q(v_i-v_1)$v~i​−v~1​=Q(vi​−v1​)
于是就可以得到原文公式(3)。所以 $QV=\tilde{V}$QV=V~，于是 $Q=\tilde{V}V^{-1}$Q=V~V−1。
（待续。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。）