教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社
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14.4 图的矩阵表示
1、图可以用集合来定义，但多用图形表示，还可以用矩阵来表示。用矩阵表示图便于用代数方法研究图的性质。图可以用关联矩阵、邻接矩阵或可达矩阵来表示。
2、设无向图G(V, E)，V = {v1，v2，……，vn}，E = {e1，e2，……，em}。则可构造G的关联矩阵M(G) = {mi, j}n×m。mi, j代表顶点vi和边ej的关联次数。
不难发现，无向图的关联矩阵M(G)的性质有：
（1）每列元素之和均为2。这是因为每条边恰好关联两个顶点（环关联一个顶点2次）。
（2）每行元素之和为对应顶点的度数。
（3） 。这正是握手定理的内容。
（4）第j列与第k列相同当且仅当边ej与ek是平行边（重边）。
（5）某行元素之和 为0当且仅当点vi是孤立点。
3、设有向无环图D(V, E)，V = {v1，v2，……，vn}，E = {e1，e2，……，em}。则可构造D的关联矩阵M(D) = {mi, j}n×m。当vi为边ej的起点、终点时，mi, j分别取1、－1。当vi和边ej不关联，mi, j = 0。
不难看出，有向无环图的关联矩阵M(D)的性质有：
（1）每一列恰好有一个1和一个－1，每列元素之和为0。
（2）整个矩阵的－1的个数等于1的个数。这正是握手定理的内容。
（3）每一行中，1和－1的个数分别代表对应顶点的出度和入度。
（4）平行边对应的列相同。
4、设有向图D(V, E)，V = {v1，v2，……，vn}，则可构造D的邻接矩阵A = {ai, j}n×n。ai, j代表边(vi，vj)的重数。
有向图的邻接矩阵的性质有：
于是 ，即有向图的入度之和等于出度之和等于边数（每一条边提供一个入度和一个出度）。这也是握手定理的内容。
5、设有向图D(V, E)的邻接矩阵A，V = {v1，v2，……，vn}，则A的l次幂Al（l≥1）中的元素ai, j(l)为D中vi到vj的长度为l的通路数。其中ai, i(l)为到自身的长度为l的回路数。而 为D中长度为l的通路（当i = j时为回路）总数，
为D中长度为l的回路总数。（这里的通路和回路可以是复杂通路和复杂回路）
证明 只需证明ai, j(l)为D中vi到vj的长度为l的通路数。
l = 1时，根据邻接矩阵的定义，ai, j(l)为D中vi到vj的边数。结论成立。
设对l结论成立，即ai, j(l)为D中vi到vj的长度为l的通路数，则对l + 1结论也成立，即ai, j(l+1)为D中vi到vj的长度为l + 1的通路数。
vi到vj的长度为l + 1的通路由vi到某点vk的长度为l的通路加一条vk到vj的边组成。根据归纳假设：vi到某点vk的长度为l的通路数就是ai, k(l)，所以由乘法原理和矩阵乘法的定义，某点vi到另一点vj的长度为l + 1的通路数等于
得证结论对l + 1成立。
注意：矩阵元素的上标打了括号，因为不代表指数，只是数值上与相应矩阵本身的幂对应。
推论 设Bl = A + A2 + …… + Al，显然Bl中元素之和 为D中长度≤l的通路数。其中
为D中长度≤l的回路数。
6、设有向图D(V, E)，V = {v1，v2，……，vn}，可以构造D的可达矩阵P = {pi, j}n×n，当vi可达vj和不可达时，分别取1和0。由于vi→vi，所以主对角线全为1。
如果D是有向无环图，只要已知D的邻接矩阵A和Bn-1 = A + A2 + …… + An-1，由Bn-1的元素bi, j(n-1)就可以写出D的可达矩阵。不过pi, i总为1，与Bn-1无关。
7、对无向图，也有相应的矩阵表示方法。与有向图的矩阵的区别是，无向图的邻接矩阵和可达矩阵都是关于主对角线对称的。
14.5 图的运算
1、设图G1(V1, E1)，G2(V2, E2)，若V1∩V2 = ∅，就说G1与G2不交。若E1∩E2 = ∅，就说G1与G2边不交或边不重。
2、设图（不含孤立点，同为无向或有向）G1(V1, E1)，G2(V2, E2)，则：
（1）G1与G2的并图为G1∪G2(V1∪V2, E1∪E2)。
（2）G1与G2的差图为G1－G2(V, E1－E2)。其中V为边集E1－E2关联的全部顶点。
（3）G1与G2的交图为G1∩G2(V, E1∩E2)。其中V为边集E1∩E2关联的全部顶点。
（4）G1与G2的环和为G1⊕G2(V, E1⊕E2)。其中V为边集E1⊕E2关联的全部顶点。G1⊕G2 = (G1∪G2)－(G1∩G2)。
当G1 = G2时，G1－G2 = G2－G1 = ∅，即运算结果产生了空图。