动态规划解决01背包

0-1背包问题

0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

1.思路：

声明一个大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法：
（1） j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2） j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

2.状态转移方程：

if(j>=w[i])
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
m[i][j]=m[i-1][j];

动态规划解决01背包
3.求最优解

由以上，可以确定的是可获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。
另起一个 x[ ] 数组，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。m[n][c]为最优值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样，则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时，由x[n-1][c]继续构造最优解；当x[n]=1时，则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推，可构造出最优解。
动态规划解决01背包

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
 
const int N=150;
 
int v[N]={0,3,4,5,6};
int w[N]={0,2,3,4,5};
int x[N];
int m[N][N];
int c=8;
int n=4;

 void FindWhat(int i,int j)//寻找解的组成方式
{
    if(i>=0)
    {
        if(m[i][j]==m[i-1][j])//相等说明没装
        {
            x[i]=0;//全局变量，标记未被选中
            FindWhat(i-1,j);
        }
        else if( j-w[i]>=0 && m[i][j]==m[i-1][j-w[i]]+v[i] )
        {
            x[i]=1;//标记已被选中
            FindWhat(i-1,j-w[i]);//回到装包之前的位置
        }
    }
}
int main()
{
 
 //动态规划 
    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
 
            else
                m[i][j]=m[i-1][j];
            
        }
    }
    FindWhat(n,c);
   for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<x[i];
    return 0;
}