通过向量乘积推导地球两点之间的球面距离

思路：

• 将点的经纬度坐标转换三维的直角坐标
• 根据空间中向量乘积公式$a.b=|a|.|b|\cos{\theta}$a.b=∣a∣.∣b∣cosθ，得到两个点之间的角度
• 再根据圆弧长与圆角之间的关系$l_{ab}=r\theta$lab​=rθ，得到两个点的球面距离

如下所示

其中A、B是球面上的两个点，O是球心，平面XOY是赤道平面，X轴方向表示0度经线，Y轴方向表示90度经线，Z轴表示北极方向。
D是A点在赤道平面的投影, ∠AOD表示A点的维度$W_A$WA​，∠XOD表示A点的经度$J_A$JA​。
C是B点在赤道平面的投影, ∠BOC表示B点的维度$W_B$WB​，∠XOC表示B点的经度$J_B$JB​。

第1步：坐标转换

$x_A=|OD|.\cos{(∠XOD)}=|OA|.\cos{(∠AOD)}.\cos{(∠XOD)}=r.\cos{W_A}.\cos{J_A} \\ y_A=|OD|.\sin{(∠XOD)}=|OA|.\cos{(∠AOD)}.\sin{(∠XOD)}=r.\cos{W_A}.\sin{J_A} \\ z_A=|AD|=|OA|.\sin{(∠AOD)}=r.\sin{W_A}$xA​=∣OD∣.cos(∠XOD)=∣OA∣.cos(∠AOD).cos(∠XOD)=r.cosWA​.cosJA​yA​=∣OD∣.sin(∠XOD)=∣OA∣.cos(∠AOD).sin(∠XOD)=r.cosWA​.sinJA​zA​=∣AD∣=∣OA∣.sin(∠AOD)=r.sinWA​

上面$r$r表示地球半径， 同理可得B点的三维坐标
$x_B=|OC|.\cos{(∠XOC)}=|OB|.\cos{(∠BOC)}.\cos{(∠XOC)}=r.\cos{W_B}.\cos{J_B} \\ y_B=|OC|.\sin{(∠XOC)}=|OB|.\cos{(∠BOC)}.\sin{(∠XOC)}=r.\cos{W_B}.\sin{J_B} \\ z_B=|AD|=|OB|.\sin{(∠BOC)}=r.\sin{W_B}$xB​=∣OC∣.cos(∠XOC)=∣OB∣.cos(∠BOC).cos(∠XOC)=r.cosWB​.cosJB​yB​=∣OC∣.sin(∠XOC)=∣OB∣.cos(∠BOC).sin(∠XOC)=r.cosWB​.sinJB​zB​=∣AD∣=∣OB∣.sin(∠BOC)=r.sinWB​

第2步：求解$\theta$θ角度

根据空间中向量乘积公式$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|OA|.|OB|\cos{\theta}$OA.OB=∣OA∣.∣OB∣cosθ，得到AB两个点之间的角度
$\cos{\theta}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|OA|.|OB|}=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{r^2}$cosθ=∣OA∣.∣OB∣OA.OB​=r2OA.OB​

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=x_A.x_B+y_A.y_B+z_A.z_B\\ =r.\cos{W_A}.\cos{J_A}.r.\cos{W_B}.\cos{J_B} +\\ r.\cos{W_A}.\sin{J_A} .r.\cos{W_B}.\sin{J_B} + r.\sin{W_A}.r.\sin{W_B}\\ =r^2.\cos{W_A}.\cos{W_B}.(\cos{J_A}.\cos{J_B}+\sin{J_A}.\sin{J_B})+r^2.\sin{W_A}.\sin{W_B}\\ =r^2.\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +r^2.\sin{W_A}.\sin{W_B}$OA.OB=xA​.xB​+yA​.yB​+zA​.zB​=r.cosWA​.cosJA​.r.cosWB​.cosJB​+r.cosWA​.sinJA​.r.cosWB​.sinJB​+r.sinWA​.r.sinWB​=r2.cosWA​.cosWB​.(cosJA​.cosJB​+sinJA​.sinJB​)+r2.sinWA​.sinWB​=r2.cosWA​.cosWB​.cos(JA​−JB​)+r2.sinWA​.sinWB​

得到

$\cos{\theta}=\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +\sin{W_A}.\sin{W_B}$cosθ=cosWA​.cosWB​.cos(JA​−JB​)+sinWA​.sinWB​

第3步：求解AB两点的球面距离

根据圆弧长与圆角之间的关系$l_{ab}=r\theta$lab​=rθ，得到
$l_{AB}=r.\theta=r.\arccos({\cos{W_A}.\cos{W_B}.\cos({J_A-J_B}) +\sin{W_A}.\sin{W_B}})$lAB​=r.θ=r.arccos(cosWA​.cosWB​.cos(JA​−JB​)+sinWA​.sinWB​)