ACM-乘法逆元

乘法逆元

写在前面：本文借鉴了 正义小学生 的博客

（1）何为乘法逆元？

在(mod p)的意义下，如果a*a’ = 1,那么我们就说a’是a的逆元。同时容易理解：a也为a’的逆元。

有乘法逆元的前提是 ：a，p互质，若a，p不互质，也就意味着不存在a的乘法逆元。

（2）乘法逆元的性质：

本文只选出最重要的几个性质进行说明：

1.存在唯一性：

对于a来说，如果他有逆元，则它只能有一个逆元。

证明：

我们先假设 aa 有两个不相等逆元： a₁，a₂ ，那么一定有：

a* a₁=a* a₂=1(mod p)

不妨设 a₁<a₂，且a₂ - a₁=k

a*（a₂-k）=a*a₂（mod p）

a*k=0(mod p)

由于a≠0，所以k=0（mod p）

所以 a₂=a₁，与题设矛盾。

2.完全积性函数

为了接下来方便，我们把 a 的逆元表示为 inv[a]。

inv[a]* inv[b]=inv[a*b]

证明：

a* inv[a]=b* inv[b]=1(mod p)

a*inv[a] * b *inv[b]=1(mod p)

这就是a*b逆元的定义！

3.a*inv[b]=a/b (mod p)

证明：

b*inv[b]=1(mod p)

两边乘以a得 ：a* b* inv[b]=a(mod p)

a* inv[b]=a/ b(mod p)

这个结论很重要：有时候我们需要算出 a/b mod p 的值，用朴素的方法，我们只能在 a 上不断加 p ，直到它能被 b 整除为止。当 a,b,p都很大的时候，这种方法就只能凉凉了，但如果有了逆元，我们就可以非常方便，快捷地求解。

（3）逆元怎么求

1.枚举法

枚举k，检查a*k=1（mod p） 几乎用不到

2.费马小定理（mod p中的p为素数可用）

费马小定理：当 p 为素数时，a^p-1=1(mod p)

那么 a*a^p-2=1(mod p)

所以a的逆元为 a^p-2

3.扩展欧几里得：

a*x=1（mod p）

ax+py=1 这东西不就是exgcd吗

如果不懂exgcd，我之前写了exgcd的详解。点击链接查看

4.线性递推(可以批量求逆元)：

线性递推与以上三种求逆元的区别在于：线性递推，递推两字很显然这个方法可以由一个逆元推向其他的逆元，也就是这种方法可以很好的推得多个逆元，而不仅仅是推出一个逆元而已。

最后得出的公式可以用来递推逆元：

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,p;
int inv[25000528];
int main()
{
    cin>>N>>p;
    inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++)
    {
        inv[i]=(long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    }
    for (int i=1;i<=N;i++)
         printf("%d\n",inv[i]);
    return 0;
}