数理统计—无穷级数

• • • 一、幂级数
    • 二、泰勒级数
    • 三、傅里叶级数
      • • 3.1 定义
        • 3.2 指数形式
        • 3.3 三角形式和指数形式的关系
        • 3.4 几何意义
        • 3.5 傅里叶变换和逆傅里叶变换

一、幂级数

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n                                      $$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$$

                                                  =a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋅⋅⋅+an(x−x0)n$=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+···+a_n(x-x_0{)}^n$

二、泰勒级数

f(x)的泰勒级数是如下的幂级数：

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

这里，n!表示n的阶乘，f(n)(a)$f^{(n)}(a)$ 表示函数 f$f$ 在 a$a$ 点处的 n 阶导数。约定0阶导数是该函数本身，即f(x)$f(x)$ 。

泰勒级数的使用（近似计算）

若已知2个幂级数如下：

log(1+x)=x−x22−x33+O(x4)$$log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4)$$

cosx−1=−x22+x424−x6720+O(x8)$$cosx-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)$$

那么：

三、傅里叶级数

3.1 定义

3.2 指数形式

3.3 三角形式和指数形式的关系

3.4 几何意义

3.5 傅里叶变换和逆傅里叶变换