多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值与最值

1.1、极值

1.1.1、二元函数极值定义

例如：
$z=\sqrt{x^2+y^2}$z=x2+y2​在(0,0)处取得极小值
$z=-\sqrt{x^2+y^2}$z=−x2+y2​在(0,0)处取得极大值
$z=xy$z=xy在(0,0)处,既不是极大值，又不是极小值

1.1.2、推广到n元函数

1.2、极值存在的必要条件

1.3、极值存在的充分条件

• 一元函数极值的第二充分条件 二阶导数存在

最值问题

有界闭区域连续，必定存在最值
最值可能出现的位置： 极值，驻点，边界上
问题： 多元函数中求取边界上的最值，是很困难的

2.1、条件极值

将极值问题转换为无条件极值

2.2、拉格朗日乘法

2.2.1、推导

• 隐函数存在定理，及求导
  

2.2.2、具体步骤

2.2.3、多个拉格朗日乘子