1.10 商业、科学和工程中的线性模型（第1章线性代数中的线性方程组）

内容概述

原书讲解了三个例子：构造营养食谱、电学、线性差分方程。这里记录差分方程的例子，一是这个例子可以帮助很容易地构建差分方程的缘起，又说明了线性代数的一大重要应用-解差分方程。还为将来理解特征值和特征向量的意义打下了基础。

差分方程

科学中，往往需要研究随时间变化的动力系统，这种系统通常在离散的时刻测i狼，得到一个向量序列： $\boldsymbol x_0,\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\cdots$ 。向量 $\boldsymbol x_k$ 的各个元素给出该系统在第 $k$ 次测量中的状态信息。

如果又矩阵 $A$ ，使得 $\boldsymbol x1=A\boldsymbol x_0,\boldsymbol x_2=A\boldsymbol x_1$ ，一般的，
$\boldsymbol x_{k+1} = A\boldsymbol x_k, k = 0,1,2,\cdots$
那么上式称为线性差分方程（或递归关系），给定这样一种关系，我妈可有已知的 $\boldsymbol x_0$ 计算 $\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,$ 等等。

人口学中的差分方程例子

本例描述人口在某一城市与郊区之间迁移的简单模型。
固定一个初始年份（2014年），用 $\boldsymbol r_0$ 和 $\boldsymbol s_0$ 分别表示该年城市和郊区的人口数。令 $\boldsymbol x_0$ 表示人口向量：
$\boldsymbol x_0 = \begin{bmatrix}r_0 \\ s_0\end{bmatrix}$
对2015年与以后年份，把人口向量表示为：
$\boldsymbol x_1 = \begin{bmatrix}r_1 \\ s_1\end{bmatrix},\boldsymbol x_2 = \begin{bmatrix}r_2 \\ s_2\end{bmatrix},\boldsymbol x_3=\begin{bmatrix}r_3 \\ s_3\end{bmatrix} \cdots$
目的是在数学上表示出这些向量之间的关系。

设人口统计学的研究说明：每年约有5%的城市人口移居郊区（95%留在城市），而3%的郊区人口移居城市（97%留在郊区）。
1.10 商业、科学和工程中的线性模型（第1章线性代数中的线性方程组）
那么：
一年后，原来城市中的人口 $r_0$ 在城市和郊区的分布为：
$\begin{bmatrix}0.95r_0 \\ 0.05r_0\end{bmatrix} = r_0\begin{bmatrix}0.95 \\ 0.05\end{bmatrix}$
一年后，原来郊区中的人口 $s_0$ 在城市和郊区的分布为：
$\begin{bmatrix}0.03s_0 \\ 0.97s_0\end{bmatrix} = s_0\begin{bmatrix}0.03 \\ 0.97\end{bmatrix}$
于是，一年后的城市人口和郊区人口的总分布为：
$\begin{bmatrix}r_1 \\ s_1\end{bmatrix} = r_0\begin{bmatrix}0.95 \\ 0.05\end{bmatrix} + s_0\begin{bmatrix}0.03 \\ 0.07\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.95 & 0.03 \\ 0.05 & 0.97\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_0 \\ s_0\end{bmatrix}$
即：
$\boldsymbol x_1 = M\boldsymbol x_0$
其中 $M$ 是移民矩阵，由下表决定：
$\begin{bmatrix}0.95 & 0.03 \\ 0.05 &0.97\end{bmatrix}$
若移民比例保持常数，则由2014年到2015年的改变为：
$\boldsymbol x_2 = M\boldsymbol x_1$
一般的：
$\boldsymbol x_{k+1} =M\boldsymbol x_k, k=0,1,2,\cdots$
向量序列 $\boldsymbol x_0,\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\cdots$ 描述了若干年中城市、郊区人口变化的状况。
例：

设2014年城市人口为600000，郊区人口为400000，求上述区域2015年和2016年的人口。

解：

2015年：
$\boldsymbol x_1 = \begin{bmatrix}0.95 & 0.03 \\ 0.05 &0.97\end{bmatrix}\begin{bmatrix}600000 \\ 400000\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}582000 \\ 418000\end{bmatrix}$
2016年：
$\boldsymbol x_2 = M\boldsymbol x_1 = \begin{bmatrix}0.95 & 0.03 \\ 0.05 & 0.97\end{bmatrix}\begin{bmatrix}582000 \\ 418000\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}565440 \\ 434560\end{bmatrix}$
该人口迁移模型是线性的，因为对应的 $\boldsymbol x_k \rightarrow \boldsymbol x_{k+1}$ 是线性变换。