相关数学知识

数学知识(一)

集合论

• 举例

  学生上课不规矩的概率 = 0.1

  P(学生上课不规矩) = 0.1

  概率函数的自变数是：事件，而事件是一种集合

• 集合名词

  • 元素

  Ex: 1、2、3、4、5

  • 集合

  Ex:A = {1,2,3,5}

  • 子集合

  Ex: B = {1,2}

  则B是A的子集，表示为B⊂A

  • 宇集

  Ex:S = {1,2,3,4,5}

  • 空集合

  Ex:∅= {}

  • 交集

  Ex:A⋂B= {1,2}

  • 与集

  A⋃B= {1,2,3,5}

  • 补集

  ��=����

  • ​

    

  ​

概率论

随机事件及其概率

排列组合公式	pnm=m!(m−n)!从m个人中挑出n个人进行排列的 可能数 Cnm=m!n!(m−n)!从m 个人中挑出n个人进行组合的可能数
加法和乘法原理	加法原理 ：m+n 某时间有两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n中方法来完成，则这件事可由m+n中方法来完成 乘法原理 ：m*n 某件事有两个步骤来完成，则这件事可由m*n 中种方法来完成
加法公式	P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB) 当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式	P(A−B)=P(A)−P(AB)当B⊂A时，P(A−B)=P(A)−P(B) 当A = Ω 时，P(B)=1−P(B)
条件概率	定义 设A、B是两个事件，且P(A) > 0，则称P(AB)P(A)为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)=P(AB)P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率 例如 P(Ω/B)=1⇒P(B/A)=1−P(B/A)
乘法公式	乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)
贝叶斯公式	P(A/B)=P(B/A)P(A)P(B)

随机变量

随机变量X定义为一个函数X：Ω,它定义了样本空间到实数的映射。

根据函数的取值类型分为离散型随机变量和连续型随机变量

a) 离散型随机变量：P（X=k）:= P{X=k}

b) 连续型随机变量：P(a≤X≤b) := P{a≤X≤b}

累计分布函数

CDF：定义为一个函数Fx:R→[0,1],并且FX(x)=P(X≤x)

通过它可以计算任何事件的概率

性质：

期望

某随机变量X可以定义为pX(x)(离散型)或者fX(x)（连续型），则定义随机变量g(X)的期望为：

E[g(X)]=∑g(x)p(x) –离散型随机变量

E(g(x))=∫∞∞g(x)f(x)dx–连续型随机变量

对于事件X本身，则有g(X)=X,X的均值

性质：

• E[a]=a
• E[af(X)]=aE[f(X)]
• E(f(X)+g(X))=E[f(X)]+E[g(X)]

方差

方差定义为度量随机变量X在其均值的偏差程度，方差越小其偏离度越小，其形式定义为：Var(X)=E[(X−E[X])2]=E[X2]−E[X]2.

性质：

• Var[a]=0
• Var[af(x)]=a2Var[f(x)]

常见随机变量分布

条件分布

条件分布是指在知道事件X=x的情况下，事件Y的分布情况。

对于离散型随机变量有(条件概率质量函数)：

PXY(y|x)=PXY(x,y)PX(x)

对于连续型随机变量有（条件概率密度函数）：

fXY(y|x)=fXY(x,y)fX(x)

贝叶斯公式

• 连续型随机变量

  

• 离散型随机变量

  

独立

如果事件X和Y相互独立，则有FXY(x,y)=FX(x)FY(y)则有

连续型随机变量：

• fXY(x,y)=fX(x)fY(y)
• fXY(y|x)=fY(y)

离散型随机变量：

• pXY(x,y)=pX(x)PY(y)
• pXY(y|x)=PY(y)

期望和协方差

给定两个随机变量X和Y，以及函数 g:R2→R,有：，g(X,Y)的期望定义为：

X,Y的协方差定义为：

Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]=E[XY]−E[X]E[Y]

协方差的直观含义表示变量X和Y的相关性，如果X和Y相互独立，则有Cov[X,y]=0