Low-Rank and Sparse Decomposition Model for Accelerating Dynamic MRI Reconstruction，本文源自2017年8月8日的Journal of Healthcare Engineering,截图如下
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介绍
理论背景
k-t空间的动态磁共振数据采集可以用下式表示
y(k,t)=∫x(r,t)exp(−2πjk⋅r)dr+n(k,t).(1)
其中y(k,t)表示观测到的k-t空间信号，x(r,t)表示期望的动态图像序列，n(k,t)为观测噪声，它可以用一个额外的白噪声的高斯分布[16][17]来进行合理的模拟.
本文中，问题的解决方案是为了从降采样的观测数据y(k,t)中找出磁共振图像x(r,t)的最近似表示，(1)式可以转换为一个逆问题，并且可以重写成向量形式[18]。
Y=RFX+n.(2)
其中Y=[y1|…|yT]，X=[x1|…|xT]，n=[n1|…|nT]， T是框架中的元素个数，F为傅里叶变换算子，观测矩阵R为降采样掩模，它被用于k空间。
基于压缩感知的磁共振图像重建
压缩感知方法[5,19]被提出用于从部分采样的k空间数据Y中重建出磁共振图像X,这一过程是利用稀疏变换和凸优化算法来实习的。如果我们找到满足式(2)的稀疏向量，那么问题将得到解决。
minX∥DX∥0s.t.∥Y−RFX∥2≤ϵ(3)
其中∥⋅∥是l0范数，它用来计算向量中非零元素的个数，D是稀疏变换或者字典，ϵ是一个较小的常数。不幸的是，(3)是NP难问题，这需要通过蛮力搜索来解决。压缩感知理论[8]提供了凸松弛方法，指的是(3)式中的l0范数可以用l0范数最小化来代替，
minX∥DX∥1s.t.∥Y−RFX∥2≤ϵ,(4)
其中∥⋯∥是l1范数，表示向量的绝对值之和。
低秩稀疏分解
基于压缩感知的技术已经完全成功地应用于磁共振图像重建，它利用了图像在变换域
的稀疏性。然而， 压缩感知的性能主要依赖于特定的字典或者稀疏算子，这限制了最大可实现的加速度。因此，一些研究者尝试研究一些新方法来重建磁共振图像[20-24]。这些方法中，低秩矩阵恢复是医学图像处理中最流行的一项技术。
低秩的基本假设和[18]一样，也即，图像X是同时稀疏（在图像域内）并且低秩的。现在的问题是从给定的少量k-空间数据Y中恢复X, 少量数据是相对矩阵中的元素个数而言的。我们假定矩阵的近似秩为r，图像的大小为M×N。当矩阵X是低秩时，它只有r(M+N−r)个自由度而不是MN个， 这就有可能从少量的采样点中通过解决秩最小化问题来恢复矩阵X，
min rank(x)s.t.∥Y−M（X)∥2≤ϵ(5)
然而，秩最小化问题，也即解决式(5)， 是组合问题也是NP难问题[25]。因此，凸松弛经常用于使得最小化问题更容易处理。
minX∥X∥∗s.t.∥Y−M（X)∥2≤ϵ(6)
其中M表示任意的线性算子，∥X∥∗是核范数，可以定义为
∥X∥∗=∑i=1kσi,(7)
其中σ1,σ2,…,σr是X的奇异值，r是X的秩。
为了从给定的Y恢复X，\boldsymbol{X}可以分解为地址矩阵\boldsymbol{A}和稀疏矩阵\boldsymbol{E}的叠加。
X=A+E(8)
X可以有下列优化问题的解决方案中恢复：
minA,E∥A∥∗+γ∥E∥s.t.∥Y−M(A+E)∥2≤ϵ(9)
其中低秩矩阵A有非零奇异值并且表示背景元素，稀疏矩阵E有非零元素值，它对应于变化， γ是可调整参数，用于平衡l1范数相对核范数的贡献。
提出方法
在主成分追踪模型[26]中，为了解决式(9)，它可以用正则化而不是严格的约束[15]来形成一个优化问题。因此，(9)可以转换为
minL,S∥Y−M(A+E)∥2F+λL∥A∥∗+λS∥TE∥1,(10)
其中参数λS和λL用于平衡数据一致性，T是稀疏变换基。
方程(10)是一个正则化的主成分追踪（RPCA）问题，它包括最小化核范数和l1范数的组合。Otazo et al. 研究[15]采用了迭代阈值方案去解决(10)；然而，迭代阈值收敛慢。因此，我们提出了一种不严格的增强拉格朗日乘子算法来解决RPCA问题[27]。 根据式(6)中的约束
MHy=A(n)+E(n)=X(n),(11)
其中MH是对偶算子，X(n)包含观测噪声，A(n)和E(n)分别是低秩元素和稀疏元素。我们应用IALM方法来解决下列优化问题
minL,S∥A(n)∥∗+λ∥TE(n)∥1+<L,MHy−A(n)−E(n)>+μ2∥MHy−A(n)−E(n)∥2F(12)
其中L是拉格朗日乘子，用来消除等式约束，μ是一个很小的正标量。条件∑+∞k=1μ−1k=+∞表明μk不会增长太快。IALM方法用于解决RPCA问题的步骤可以参考算法1.
对算法1，如果{μk}是非递减并且∑+∞k=1μ−1k=+∞，那么在RPCA问题中(Ak,Ek)收敛于一个优化解(A∗,E∗)。无约束{μk}的优点是可行性条件Ak+Ek=X可以快速逼近，因为X−Ak−Ek=Lk−Lk−1/μk−1和Lk是受约束的。在算法1中，单一阈值算子[28]可以定义为
SVTλ(D)=UΛλ(Σ)VH,(13)
其中D=UΣVH是D的任意一个奇异值分解。Λλ(Σ)是软阈值算子，可以定义为
Λλ(Σ)=x|x|max(|x|−λ,0).(14)
实验结果与讨论
实验是在MATLAB V7.14.0 (R2012a)， Intel Core i7-2640 M CPU, 4.0 GB 内存，64-bit Win7操作系统上运行的。提出的算法采用两个心脏电影数据集， 来进行实验验证。第一个数据集是从Bio Imaging and Signal Processing Lab上获取的，
这里包含了nt=25个时间框架，大小为nx=ny=256，视野为345×270mm2，层厚为10mm。
第二个数据集可以从的Dr. Caballero网站上获取
ta是由Caballero et al. [12]引入的，相关的图像参数如下：图像矩阵大小为256×256(nx×ny)，时间框架数为30(nt), FOV=320×320mm2, 层厚为10mm.
两种广泛使用的采样轨迹，笛卡尔和径向采样策略被用于k-空间的MR数据集采样。图1显示了研究中的采样掩模以及他们在一个时间框架上的幅度。
我们从重建精度和重建速度量方面，比较了提出的算法和k-t SLR[10]以及k-t RPCA[16]。定量图像质量评估可以采用峰值信噪比（PSNR）和结构相似性索引（SSIM）这两个准则。PSNR用于估计重建图像和全采样图像之间的差异，可以定义为
PSNR=−10log10(∥X^−X∥2F∥X∥2F)(15)
其中X^是重建图像，X表示全采样图像。
SSIM是测量重建图像和全采样图像之间相似性的一种新方法。对每一个时间框架{xn}ntn=1，我们采用SSIM去测量重建图像和全采样图像之间的差异；同一重建图像xRec和全采样图像xF之间的SSIM索引可以用下式来评估：
SSIM(x,y)=(2μxRμxF+c1)(2σxRxF+c2)(μ2xR+μ2xF)+c1)(σ2xR+σ2xF+c2),(16)
其中μxR和μxF是重建图像xRec和全采样图像xF的平均灰度值 σF和σxR是重建图像xRec和全采样图像xF的标准差，σxRxF是重建图像xRec和全采样图像xF的协方差， c1=(K1L)2， c2=(K2L)2是常数，其中L是动态范围为[0,255]的8位灰度图像。Wang et al. [29]文中建议的参数值为K1=0.01，k2=0.03/
k-t SLR算法结合了TV和非凸Schatten p范数，其中p=0.01; 一些参数选为基于公开的软件包中的推荐值（Schatten惩罚项参数β1=10−9, TV范数中则为β2=10−2， 最大的内部迭代数为50， 最大的外部迭代数为9）。在k-t RPCA算法中，两个正则化参数为μ=200，ρ=1.5，分别对应正则化项和分解项。
类似地，本文提出的这一方法需要三个参数λ，ρ和μ的具体化。我们设定μ0=1.5/∥X∥2， ρ=1.2。我们采取∥X−Ak−Ek∥F/∥X∥F<10−7作为算法1的终止条件。在[16]作者的建议下，我们选择了一个固定的加权参数λ=max(nx∗ny,nt)−1/2，提出的算法经实验验证有效，采用了全采样的心脏电影（前文提到的两个数据集）以及两种不同的采样轨迹。
为了仿真k-空间的加速，全采样k-空间数据是通过变密度（采样因子）随机采样方式人为降采样来实现的。为了测试所提出的方法的鲁棒性，两个数据集的k-空间数据都被固定标准差σ=15的高斯白噪声污染了。首先，在第一个心脏数据集上进行测试，采用了不同的采样模型，同时采用了不同的采样率。图2中展示了可视化质量比较，它比较了提出的方法（算法1）和其他算法的重建结果。笛卡尔采样掩模的加速因子近似为4（大约是获取数据的25%)。图3展示了笛卡尔采样和伪径迹采样方式重建结果的PSNR，其中采样方式是关于采样因子的函数。可以看出在伪径迹采样方式情况下，本文提出的算法的性能由于其他两个方法。但是在低采样率笛卡尔采样方式下，本文算法的性能稍微差于k-t SLR方法。此外，图4展示了在笛卡尔和径迹两种采样方式在同一采样因子（加速因子近似为6，大约16.4%的获取数据）下，不同时间框架的SSIM。实验结果表明提出的方法就SSIM而言，实现了较优越的结果。当采用伪径迹采样方式而不是笛卡尔采样方式时， 并且因此我们的方法的优势相对而言更明显。
更多地，我们用同样的方法在第二个心脏数据集上测试我们提出的方法。图5提供了可视化估计
总结
本文中，我们提出了一种快速算法（IALM），用于解决RPCA优化问题，从而从高度降采样k-空间数据中恢复出dMRI序列。我们提出的算法具有一般性，可用于将动态磁共振数据分离成低秩部分和稀疏部分。并且这一算法可以从部分观测数据同时重建和分离动态MR数据。在心脏数据集上进行的实验验证了算法的有效性和高效性， 相比最先进的算法而言。