光线-双线性曲面求交

计算机图形学中的许多技术，例如光线追踪，均需要计算光线与物体之间的交点。通常情况下，求交的物体可能是球体、三角形或多边形，但其他类型的表面也是有可能的。这里，我们将讨论光线和双线性曲面之间的求交计算。

本文中的算法来自犹他大学Shaun D. Ramsey，Kristin Potter，Charles Hansen等人于2004年发表的一篇论文《Ray Bilinear Patch Intersection》。

基础知识

在光线追踪中，光线的表达形式如下：

p ⃗ (t) = r ⃗ + t q ⃗, \forall t \geq 0 （ 1 ）

其中，r⃗ 表示光线的起点，向量q⃗ 表示光线的方向。光线上的任意一点p⃗ 均可由一个参数t的值确定。

双线性曲面的四个顶点(p⃗ 00,p⃗ 01,p⃗ 02,p⃗ 03)。每个点的贡献被描述为参数(u,v)的权重，任意一点p可以被如下公式表示，其中(u,v)∈[0,1]2：

p ⃗ (u, v) = (1 - u) (1 - v) p ⃗ 00 + (1 - u) v p ⃗ 01 + u (1 - v) p ⃗ 10 + u v p ⃗ 11 （ 2 ）

用下列变量进行替换：

a ⃗ = p ⃗ 11 - p ⃗ 10 - p ⃗ 01 + p ⃗ 00 （ 3.1 ）

b ⃗ = p ⃗ 10 - p ⃗ 00 （ 3.2 ）

c ⃗ = p ⃗ 01 - p ⃗ 00 （ 3.3 ）

d ⃗ = p ⃗ 00 （ 3.4 ）

得到的双线性曲面的公式如下：

p ⃗ (u, v) = u v a ⃗ + u b ⃗ + v c ⃗ + d ⃗ （ 4 ）

求交过程

为了计算光线与双线性曲面的交点，设光线与双线性曲面相等：

r ⃗ + t q ⃗ = u v a ⃗ + u b ⃗ + v c ⃗ + d ⃗ （ 5 ）

其中，t,u和v是未知的。

要解决求交问题的第一步就是要求出t：

t = (u v a x + u b x + v c x + d x - r x) / q x （ 6.1 ）

t = (u v a y + u b y + v c y + d y - r y) / q y （ 6.2 ）

t = (u v a z + u b z + v c z + d z - r z) / q z （ 6.3 ）

目前有3个等式和3个未知数。可以通过将x和y方程设置为等于z方程并分解u和v来消除未知数t。

u v (a x q z - a z q x) + u (b x q z - b z q x) + v (c x q z - c z q x) + (d x - r x) q z - (d z - r z) q x = 0 （ 7 ）

u v (a y q z - a z q y) + u (b y q z - b z q y) + v (c y q z - c z q y) + (d y - r y) q z - (d z - r z) q y = 0 （ 8 ）

可以用以下变量进行替换：

A 1 = a x q z - a z q x

B 1 = b x q z - b z q x

C 1 = c x q z - c z q x

D 1 = (d x - r x) q z - (d z - r z) q x

A 2 = a y q z - a z q y

B 2 = b y q z - b z q y

C 2 = c y q z - c z q y

D 2 = (d y - r y) q z - (d z - r z) q y

将方程简化为以下两个方程，存在两个未知数：

u v A 1 + u B 1 + v C 1 + D 1 = 0 （ 9 ）

u v A 2 + u B 2 + v C 2 + D 2 = 0 （ 10 ）

用方程10来求解u如下：

u = (- v C 2 - D 2) (v A 2 + B 2) （ 11 ）

用方程9消除u可得：

(- v C 2 - D 2) (v A 2 + B 2) v A 1 + (- v C 2 - D 2) (v A 2 + B 2) B 1 + v C 1 + D 1 = 0

通分合并同类项可得分子部分如下：

v 2 (A 2 C 1 - A 1 C 2) + v (A 2 D 1 - A 1 D 2 + B 2 C 1 - B 1 C 2) + (B 2 D 1 - B 1 D 2) = 0 （ 12 ）

方程12是标准二次方程。解出v后，我们利用公式11去求解相关交点的u值。然而，根据曲面和光线，等式11的分母对于有效的交点可能变为零。为了解决这个问题，在求解u之前将公式7和公式8设置为相等。由此得出了u的第二个表达式：

u = v (C 1 - C 2) + (D 1 - D 2) v (A 2 - A 1) + (B 2 - B 1) （ 13 ）

通过上述推导，我们将实现光线-双线性曲面的求交算法。

算法过程

对于给定的光线和双线性曲面，可以利用算法3.1来计算交点。算法首先会调用二次方程求解函数返回v的0、1或者2个解，这取决于交点的个数，如图1所示。

图1 双线性曲面与多条光线相交，光线也许会完全错过曲面(A)，与曲面相交一次(B)，与曲面相交两次(C)

算法3.1过程如下：

对于v的每个解，其中v∈[0,1]，相关u和t的值利用算法3.2进行计算。由于光线与双线性曲面相交数次，因此要准确地选出正确的交点。论文中的算法选择t最小时的那个交点，此时t大于或等于0。这个t对应光线与双线性曲面之间的第一个交点。

算法3.2过程如下：

当二次方程的根确定时，就将其传给算法3.2，用来计算u和t的值。由于使用公式11计算u值可能得出无效的解（原因在求交过程中已阐明），因此由公式9和10联立推导出u的第二种公式如公式13所示。算法3.3通过选择等式11和13的分母的最大绝对值来计算u值。这种方法可以确保计算出来的u值是有效的。如果u∉[0,1]，则不是交点，且将不再计算(u,v)对应的t值。

算法3.3过程如下：

为了计算t的值，我们使用公式2来计算p⃗ 。对于给定的p⃗ ，我们使用公式1或6来求解t。由于光线方程的公式在求解t时存在除法，算法3.4选择q⃗ 分量绝对值最大的进行计算（避免零除）。

算法3.4过程如下：

以上就是光线-双线性曲面求交的整个过程。

参考文献

论文题目：《Ray Bilinear Patch Intersection》
出版源：《Journal of Graphics Tools》 , 2004 , 9 (3) :41-47
作者：Shaun D. Ramsey ， Kristin Potter ， Charles Hansen

源码下载

http://shaunramsey.com/research/bp/