1.名词说明
椭圆曲线离散对数（ESCDP): 离散对数问题是寻找到一个整数指数，对于整数
和素数
的一个原根
,使得
。椭圆曲线上离散曲线是阶
的椭圆曲线，
点在椭圆曲线上，对于椭圆曲线上的
点，寻找
，使得
。
椭圆曲线点乘 : 椭圆曲线上的点
，和正整数
，可以得出
,称为椭圆曲线的点乘运算，也能够被称为标量积。
椭圆曲线的阶：上椭圆曲线E中的点数
椭圆曲线点的阶：令
的最小整数。
Hasse定理：椭圆曲线上的点数满足
2.椭圆曲线
设是一个域，域
上的点集满足方程Weierstrass方程：
其中, 其中
为无穷远点。则域K上的椭圆曲线的标准式子为Weierstrass方程。
设椭圆曲线E是如下方程:
可以知道椭圆曲线E是齐次方程，且满足，因而椭圆曲线上的每一个点都是光滑的。利用matla,如图2.1，就是椭圆曲线在实数域
上的实例
图2.1：椭圆曲线例子
而如图2.2则非实数域上的椭圆曲线,每一个点都是光滑的条件不满足。
图2.2：非椭圆曲线例子
在进行椭圆曲线的研究中，采用如下形式的weierstrass方程,当特征域不为2,3,方程为：.
3.椭圆曲线阿贝尔群
定义椭圆曲线为，椭圆曲线上的运算法则记为
。
运算法则[2]：椭圆曲线E上的P,Q两点，L是过P，Q两点（如果P=Q，那么L是椭圆曲线上的切线），与椭圆曲线交于R’,过R’做平行于y轴的直线，则与椭圆曲线E相交于点R，
如图2.3椭圆曲线的运算法则示意图如下：
图2.3椭圆曲线运算法则
因此椭圆曲线:
上有如下的运算法则
a. 椭圆曲线上的直线
过
，且
为无穷远点，则
b.
c.
d.设,存在椭圆曲线
上的一点
,则
e.
f.，则
其中：
因而椭圆曲线E上的运算法则构成了Abel群。
示例： 有限域上一条椭圆曲线
上方程：
,则
上的点是（0,1），（0,18），（2,7），（2,12），（5,6），（5,13），（7,3），（7,16），（9,6），（9,13），（10,2），（10,17），（13,8），（13,11），（14,2），（14,17），（15,3），（15,16），
（16,3），（16,16）
椭圆曲线的离散点群如图3.1所示
，
图3.1：椭圆曲线离散点
a)取
图3.1：标乘p的值