【蓝桥杯】观光铁路（SPFA算法运用于非最短路问题）

问题描述

跳蚤国正在大力发展旅游业，每个城市都被打造成了旅游景点。
　　许多跳蚤想去其他城市旅游，但是由于跳得比较慢，它们的愿望难以实现。这时，小C听说有一种叫做火车的交通工具，在铁路上跑得很快，便抓住了商机，创立了一家铁路公司，向跳蚤国王请示在每两个城市之间都修建铁路。
　　然而，由于小C不会扳道岔，火车到一个城市以后只能保证不原路返回，而会随机等概率地驶向与这个城市有铁路连接的另外一个城市。
　　跳蚤国王向广大居民征求意见，结果跳蚤们不太满意，因为这样修建铁路以后有可能只游览了3个城市（含出发的城市）以后就回来了，它们希望能多游览几个城市。于是跳蚤国王要求小C提供一个方案，使得每只跳蚤坐上火车后能多游览几个城市才回来。 小C提供了一种方案给跳蚤国王。跳蚤国王想知道这个方案中每个城市的居民旅游的期望时间（设火车经过每段铁路的时间都为1），请你来帮跳蚤国王。
输入格式
　　输入的第一行包含两个正整数n、m，其中n表示城市的数量，m表示方案中的铁路条数。
　　接下来m行，每行包含两个正整数u、v，表示方案中城市u和城市v之间有一条铁路。
　　保证方案中无重边无自环，每两个城市之间都能经过铁路直接或间接到达，且火车由任意一条铁路到任意一个城市以后一定有路可走。
输出格式
　　输出n行，第i行包含一个实数tBi$t_{B_i}$，表示方案B中城市i的居民旅游的期望时间。你应当输出足够多的小数位数，以保证输出的值和真实值之间的绝对或相对误差不超过1e-9。
样例输入
4 5
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
样例输出
3.333333333333
5.000000000000
3.333333333333
5.000000000000
数据规模和约定
　　对于10%的测试点，n <= 10；
　　对于20%的测试点，n <= 12；
　　对于50%的测试点，n <= 16；
　　对于70%的测试点，n <= 19；
　　对于100%的测试点，4 <= k <= n <= 21，1 <= u, v <= n。数据有梯度。

解决过程

仔细一看，这根本就不是最短路问题嘛。
让我们简化一下问题
只求 i=1$i=1$的 情形。

问题变成，对于城市1$1$来说，出发回到原点的期望时间是多少？

首先，要明确几件事情

引理一

对于出发点城市1$1$来说，出发到每个子节点的概率之和（出度）与父节点到本节点的概率之和（入度）相等，且为1。
这里的出度和入度，都是借用网络流概念。
很显然，城市1即是起点也是终点。

也就是说，乘客一定会回到原点，即使时间是∞$\mathrm{\infty }$

引理二 加权平均

对于概率p1,p2……pn$p_1,p_2\dots \dots p_n$与相对应的值x1,x2……xn$x_1,x_2\dots \dots x_n$
它们的平均期望应该是

x¯=∑ni=1pi∗xi∑ni=1pi$$\overline{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i\ast x_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}$$

这个平均期望对应的概率是

p=∑i=1npi$$p=\sum _{i=1}^n{p}_i$$

对于某个节点k$k$

到达k$k$的平均期望就是x¯$\overline{x}$,到达k$k$的概率就是p$p$
（如果以父节点的时间计算的话k的平均期望就是x¯+∑ni=1pi∗1∑ni=1pi=x¯+1$\overline{x}+\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i\ast 1}{\sum _{i=1}^n{p}_i}=\overline{x}+1$)

而这道题中有这么一个性质

性质：子节点不会影响父节点，父节点只会影响子节点。

这个性质可能看起来不怎么样。
让我们回想一下SPFA算法对Bellman - Ford算法的最大优化在哪？
对某个节点松弛操作后，只有这个节点的子节点受到了影响。
对了
这就是SPFA的核心思想

于是我们可以得出求解城市1的了

步骤

1. 建立两个数组，概率p[i]$p[i]$，时间x[i]$x[i]$,i$i$为城市节点。显然p[1]=100%=1,x[1]=0$p[1]=100\mathrm{\%}=1,x[1]=0$
2. 城市1入队，指针i$i$指向城市1.
3. 除了城市1，如果p[i]∗x[i]<1E−9(也就是10−9)$p[i]\ast x[i]<1E-9(也就是{10}^{-9})$ 那么跳到步骤7。否则继续执行步骤4。
4. 计算子节点的数量ni$n_i$和平分给子节点的概率P=p[i]ni$P=\frac{p[i]}{n_i}$
5. 对于所有在队列内的子节点k$k$（如果城市1是子节点那么也算在队列内，虽然实际并不在内）,计算并赋值加权平均
   x[k]=(x[i]+1)∗P+x[k]∗p[k]P+p[k]$$x[k]=\frac{(x[i]+1)\ast P+x[k]\ast p[k]}{P+p[k]}$$
   和概率
   p[k]=P+p[k]$$p[k]=P+p[k]$$
6. 将所有在队列外的子节点j$j$入队(城市1除外)。对于每一个j$j$，赋值p[j]=P,x[j]=x[i]+1$p[j]=P,x[j]=x[i]+1$。
7. 对于本身节点，赋值p[i]=0,x[i]=0$p[i]=0,x[i]=0$，出队，指针i$i$移向下一位。
8. 直到队列为空。

解释

第3步.这是搜索的边界条件。可以证明，时间的增长速度比概率的衰减速度要慢的多，对最终结果的影响有限。当然，存在有更精确的边界条件。不是唯一的。
第7步.这是保证，在队列内的概率总和不会大于100%。也就是说，回到城市1的概率不会大于100%。

于是我们就获得了单源的算法。
所以，对于所有的i$i$，都进行一次上面的类SPFA操作，就可以求得答案了。
由上面的边界条件可以看到，在最理想的情况下，一个点要经历估算至少log2109≈30${\log }_2{10}^9\approx 30$次入队才会排除
那么算法时间O(kE)∗O(V)=O(kV2)$O(kE)\ast O(V)=O(k{V}^2)$（k为节点平均入队次数,≥30$\ge 30$，E为边数，V为节点数。由无重边无自环，所以E=V）
还算是理想的效率.